Напишите все возможные значения для НОД(21n−4,14n+3), где n принимает значения из множества натуральных чисел

Хорошо, чтобы найти все возможные значения для НОД(21n−4,14n+3), давайте воспользуемся алгоритмом Евклида.

1. Первый шаг:
Разложим выражения 21n−4 и 14n+3 на множители:
21n−4 = (3⋅7)n−4
14n+3 = (2⋅7)n+3

2. Второй шаг:
Применим алгоритм Евклида:
(21n−4,14n+3) = (14n+3,3⋅7n−4)
= (14n+3,7n+2(3⋅7n−4))
= (14n+3,7n+6(7n−2))
= (14n+3,7n−12)

3. Третий шаг:
Поделим (14n+3) на (7n−12):
(14n+3) = k(7n−12) + r,
где k — целое число, а r — остаток от деления.

Найдем k:
14n+3 = k(7n−12) + r
14n+3 = 7kn−12k + r

Сравним коэффициенты при n:
14 = 7k
k = 2

Подставим найденное k обратно и найдем r:
14n+3 = 2(7n−12) + r
14n+3 = 14n−24 + r
r = 27

Таким образом, получаем:
(14n+3,7n−12) = (7n−12,27)

4. Четвертый шаг:
Поделим (7n−12) на 27:
(7n−12) = k⋅27 + r

Найдем k:
7n−12 = k⋅27 + r

Сравним коэффициенты при n:
7 = 27k
k = 0

Подставим найденное k обратно и найдем r:
7n−12 = 0⋅27 + r
r = 7n−12

Таким образом, получаем:
(7n−12,27) = (7n−12,7n−12)

5. Пятый шаг:
Очевидно, что НОД(7n−12,7n−12) = 7n−12.
Поэтому все возможные значения для НОД(21n−4,14n+3) равны 7n−12, где n - натуральное число.

Таким образом, все возможные значения для НОД(21n−4,14n+3) равны 7n−12, где n принимает значения из множества натуральных чисел.