Какова область значений функции y=6+4x-2x^2? В каких точках аргумента функция убывает?

Для нахождения области значений функции \( y = 6 + 4x - 2x^2 \), мы должны определить максимально возможное множество значений \( y \), которые функция может принять для всех возможных значений \( x \). Для этого нам нужно рассмотреть формулу функции и вывести соответствующие ограничения.

Исходная функция \( y = 6 + 4x - 2x^2 \) является параболой ветвями вниз. Это означает, что коэффициент при \( x^2 \) отрицательный и функция будет иметь максимум или точку перегиба.

Чтобы найти эту точку перегиба, используем формулу \( x = -\frac{b}{2a} \), где \( a \) и \( b \) - это коэффициенты при \( x^2 \) и \( x \) соответственно. В данном случае \( a = -2 \) и \( b = 4 \).

Подставляя значения, получаем:

\[ x = -\frac{4}{2(-2)} = -\frac{4}{-4} = 1 \]

Таким образом, точка перегиба функции находится при \( x = 1 \).

Для дальнейшего анализа, мы рассмотрим две ситуации: когда \( x < 1 \) и \( x > 1 \).

Когда \( x < 1 \):
Подставим произвольное значение \( x \) из интервала \( (-\infty, 1) \) в \( y = 6 + 4x - 2x^2 \) и преобразуем его:

\[ y = 6 + 4x - 2x^2 \]
\[ y = -2x^2 + 4x + 6 \]

Чтобы определить, когда функция убывает, возьмем производную от \( y \) и найдем ее корни:

\[ y" = -4x + 4 \]
\[ -4x + 4 = 0 \]
\[ -4x = -4 \]
\[ x = 1 \]

Таким образом, в интервале \( (-\infty, 1) \) функция убывает.

Когда \( x > 1 \):
Аналогично, подставим произвольное значение \( x \) из интервала \( (1, +\infty) \) в \( y = 6 + 4x - 2x^2 \) и преобразуем его:

\[ y = 6 + 4x - 2x^2 \]
\[ y = -2x^2 + 4x + 6 \]

Также возьмем производную и найдем корни:

\[ y" = -4x + 4 \]
\[ -4x + 4 = 0 \]
\[ -4x = -4 \]
\[ x = 1 \]

Аналогично предыдущему случаю, функция убывает в интервале \( (1, +\infty) \).

Таким образом, область значений функции \( y = 6 + 4x - 2x^2 \) на всей числовой прямой (\( -\infty, +\infty \)) - это все значения \( y \), которые функция принимает при всех возможных значениях \( x \). Все эти значения составляют множество всех действительных чисел.

Когда речь идет о точках убывания, их можно найти так: функция убывает в интервалах \( (-\infty, 1) \) и \( (1, +\infty) \), ограничена точками перегиба \( x = 1 \).