Какова область определения функции y = √(7x - x^2) √(6 - 5x^2)?

Для определения области определения функции \(y = \sqrt{7x - x^2} \cdot \sqrt{6 - 5x^2}\) мы должны учесть два основных фактора:

1. Функция \(y = \sqrt{7x - x^2}\) содержит выражение под знаком корня. Чтобы избежать отрицательного значения под корнем, необходимо найти интервалы, где выражение \(7x - x^2\) больше или равно нулю.

Для этого, мы можем проанализировать уравнение:

\(7x - x^2 \geq 0\)

Мы можем записать это уравнение в виде:

\(x(7 - x) \geq 0\)

А теперь найдем значения x, удовлетворяющие этому неравенству:

На основе полученного уравнения мы можем выделить три интервала:

a) Интервал \(-\infty < x < 0\). В этом интервале \(7 - x > 0\), но \(-x > 0\). Знаки обоих множителей отрицательны, поэтому их произведение положительно.

b) Интервал \(0 < x < 7\). Оба множителя \((7 - x)\) и \(x\) положительны в этом интервале, поэтому их произведение тоже положительно.

c) Интервал \(x > 7\). В этом случае \(7 - x < 0\) и \(x > 0\), что делает произведение отрицательным.

Таким образом, область определения функции \(y = \sqrt{7x - x^2}\) - это интервал \(-\infty < x < 0\) и интервал \(0 < x < 7\).

2. Функция \(y = \sqrt{6 - 5x^2}\) также содержит выражение под корнем. Здесь мы должны найти интервалы, где \(6 - 5x^2\) в положительной области.

Аналогично, мы можем провести анализ:

\(6 - 5x^2 > 0\)

Сначала разделим оба выражения на -5:

\(-\frac{6}{5} + x^2 < 0\)

\(x^2 < \frac{6}{5}\)

Теперь находим значения x, удовлетворяющие этому неравенству:

Из этого неравенства следует, что \(x\) должно находиться в интервале \(-\sqrt{\frac{6}{5}} < x < \sqrt{\frac{6}{5}}\).

Таким образом, область определения функции \(y = \sqrt{6 - 5x^2}\) - это интервал \(-\sqrt{\frac{6}{5}} < x < \sqrt{\frac{6}{5}}\).

Теперь, чтобы получить область определения функции \(y = \sqrt{7x - x^2} \cdot \sqrt{6 - 5x^2}\), мы должны найти пересечение областей определения функций \(y = \sqrt{7x - x^2}\) и \(y = \sqrt{6 - 5x^2}\).

Соединяя оба интервала, область определения функции \(y = \sqrt{7x - x^2} \cdot \sqrt{6 - 5x^2}\) - это интервал \(0 < x < 7\) и интервал \(-\sqrt{\frac{6}{5}} < x < \sqrt{\frac{6}{5}}\).

Надеюсь, эта информация была полезной! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!