Какова область определения функции y=6x+2/3x^2+5x-2?

Для начала определим область определения функции. Область определения функции - это множество значений, для которых функция определена, то есть не вызывает ошибки.

В данном случае, функция представлена уравнением \(y = \frac{6x + 2}{3x^2 + 5x - 2}\). Обратим внимание, что знаменатель дроби имеет квадратное уравнение вида \(3x^2 + 5x - 2\).

Чтобы найти область определения функции, нужно исключить все значения переменной \(x\), которые приведут к делению на ноль. В данном случае, знаменатель не может быть равен нулю. Найдем, для каких значений \(x\) это происходит.

Для этого решим квадратное уравнение \(3x^2 + 5x - 2 = 0\). Давайте воспользуемся формулой дискриминанта для нахождения корней квадратного уравнения.

Дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле: \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае, \(a = 3\), \(b = 5\), \(c = -2\). Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

\[D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2)\]

\[D = 25 - 24\]

\[D = 1\]

Дискриминант равен 1. Теперь найдем корни квадратного уравнения, используя формулу:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[x = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3}\]

То есть получаем два значения для \(x\):

\[x_1 = \frac{-5 + 1}{6} = -\frac{2}{3}\]

\[x_2 = \frac{-5 - 1}{6} = -1\]

Таким образом, уравнение \(3x^2 + 5x - 2 = 0\) имеет два корня: \(x_1 = -\frac{2}{3}\) и \(x_2 = -1\).

Область определения функции включает все значения переменной \(x\) за исключением этих корней, так как функция не определена в этих точках и вызывает деление на ноль.

Таким образом, область определения функции \(y = \frac{6x + 2}{3x^2 + 5x - 2}\) - это все значения переменной \(x\), кроме \(x_1 = -\frac{2}{3}\) и \(x_2 = -1\).

Ответ: Область определения функции \(y = \frac{6x + 2}{3x^2 + 5x - 2}\) - любое значение переменной \(x\), кроме \(x = -\frac{2}{3}\) и \(x = -1\).