1) Найдите максимальный радиус окружности (x-5)^2+(y-1)^2=r^2, все точки которой принадлежат множеству точек

Для начала, давайте разберемся, что означают условия \(x \geq -1\) и \(y \geq 2\). Эти условия говорят о том, что нужно найти окружность, все точки которой находятся внутри или на линии, ограниченной этими условиями.

Условие \(x \geq -1\) означает, что все значения \(x\) должны быть больше или равны -1. То есть, окружность должна находиться справа от вертикальной линии, проходящей через точку (-1, 0).

Условие \(y \geq 2\) означает, что все значения \(y\) должны быть больше или равны 2. То есть, окружность должна находиться выше горизонтальной линии, проходящей через точку (0, 2).

Изобразим эти условия на координатной плоскости:

\[
\begin{array}{ c }
\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
\draw[->] (-4,0) -- (4,0) node[anchor=north] {x};
\draw[->] (0,-4) -- (0,5) node[anchor=east] {y};
\draw[thick, dashed] (-1, -4) -- (-1, 4);
\draw[thick, dashed] (-4, 2) -- (4, 2);
\draw (1, -0.1) node[anchor=north] {1};
\draw (-0.1, 1) node[anchor=east] {1};
\draw (-2, -0.1) node[anchor=north] {-1};
\draw (-0.1, -0.1) node[anchor=north east] {0};
\draw (-0.1, 2) node[anchor=east] {2};
\draw (4,4.2) node[anchor=west] {Окружность};
\draw[thick] (1, 1) circle (3);
\draw[thick, dashed] (-1, 2) -- (3, 2);
\draw[thick, dashed] (1, -4) -- (1, 4);
\end{tikzpicture}
\end{array}
\]

Теперь, чтобы найти максимальный радиус окружности, которая все еще удовлетворяет данным условиям, нам нужно найти расстояние от центра окружности до ближайшей границы, то есть линии \(x = -1\) и \(y = 2\).

Давайте установим, что центр окружности находится в точке \((x_0, y_0)\). По условию, центр окружности имеет координаты \((x-5, y-1)\). Поэтому, \(x_0 = 5\) и \(y_0 = 1\).

Теперь, найдем расстояние от центра окружности до линии \(x = -1\). Это будет разница между координатой центра окружности \(x_0\) и координатой \(x\) на границе, а именно \(x = -1\). Тогда, расстояние от центра до этой линии равно:

\[
r_1 = |x_0 - (-1)| = |5 + 1| = 6
\]

Аналогично, найдем расстояние от центра окружности до линии \(y = 2\). Это будет разница между координатой центра окружности \(y_0\) и координатой \(y\) на границе, а именно \(y = 2\). Тогда, расстояние от центра до этой линии равно:

\[
r_2 = |y_0 - 2| = |1 - 2| = 1
\]

Теперь, чтобы найти максимальный радиус окружности, мы выберем минимальное расстояние из \(r_1\) и \(r_2\). В данном случае, минимальное расстояние равно 1, значит максимальный радиус окружности будет равен 1.

Итак, максимальный радиус окружности равен \(r = 1\):

\[
(x - 5)^2 + (y - 1)^2 = 1^2
\]

Надеюсь, это пошаговое объяснение помогло вам понять решение задачи.