Каков наименьший периметр прямоугольника, если его площадь составляет

Question

Алгебра: Каков наименьший периметр прямоугольника, если его площадь составляет 81 квадратный сантиметр?

Magicheskiy_Edinorog · Accepted Answer

Хорошо, для решения этой задачи давайте обозначим длину прямоугольника за \(x\) сантиметров, а ширину за \(y\) сантиметров.

Мы знаем, что площадь прямоугольника вычисляется по формуле \(P = 2(x + y)\), где \(P\) - периметр прямоугольника.

В данном случае у нас задана площадь - 81 квадратный сантиметр, поэтому мы можем записать уравнение:

\[81 = x \cdot y\]

Теперь, используя данное уравнение, найдем значение \(y\) через \(x\):

\[y = \frac{81}{x}\]

Далее, заменим \(y\) в формуле периметра:

\[P = 2(x + \frac{81}{x})\]

Теперь, нам нужно найти минимальное значение периметра. Для этого найдем производную периметра по \(x\) и приравняем ее к нулю:

\[\frac{dP}{dx} = 2 - \frac{81}{x^2} = 0\]

решим это уравнение:

\[2x^2 = 81\]
\[x^2 = \frac{81}{2}\]
\[x = \sqrt{\frac{81}{2}}\]
\[x = \frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\]
\[x = 9\]

Таким образом, мы нашли значение \(x\), и зная \(x\), можем найти значение \(y\):

\[y = \frac{81}{x} = \frac{81}{9} = 9\]

Таким образом, наименьший периметр прямоугольника со сторонами 9 и 9 сантиметров составляет:

\[P = 2(9 + 9) = 2 \cdot 18 = 36\]

Ответ: наименьший периметр прямоугольника равен 36 сантиметров при сторонах 9 и 9 сантиметров.

Каков наименьший периметр прямоугольника, если его площадь составляет 81 квадратный сантиметр?

Magicheskiy_Edinorog

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!