Какова область определения функции y = 6 / корень из (8 + 10x - 3x^2)?

Чтобы определить область определения функции \(y = \frac{6}{\sqrt{8 + 10x - 3x^2}}\), нужно обратить внимание на две вещи: знаменатель и символ под корнем.

Сначала рассмотрим символ под корнем внутри знаменателя. Для вычисления значения под корнем необходимо чтобы выражение \(8 + 10x - 3x^2\) было неотрицательным.
Чтобы найти значения x, для которых это уравнение неотрицательно, нам нужно решить неравенство:
\[8 + 10x - 3x^2 \geq 0\]

Решение этого неравенства можно найти, рассмотрев его график или применив методы аналитической геометрии. Мы воспользуемся графическим методом.

Начнем с того, что раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить следующее уравнение:
\(-3x^2 + 10x + 8 \geq 0\)

Теперь нам нужно построить график этой функции. Кривая будет представлять собой параболу, направленную вниз, поскольку перед \(x^2\) коэффициент отрицательный (\(-3\)).

Для определения интервалов, на которых уравнение \(8 + 10x - 3x^2 \geq 0\) выполняется, установим равенство \(8 + 10x - 3x^2 = 0\) и найдем x-координаты вершин параболы. Вершина параболы имеет координаты \(x = -\frac{b}{2a}\), где \(a = -3\) и \(b = 10\).

\[x = -\frac{10}{2(-3)} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}\]

Теперь мы можем построить график на координатной плоскости и определить интервалы, в которых \(8 + 10x - 3x^2\) положительно или равно нулю.

\[
\begin{array}{ccc}
\hline
x & 8 + 10x - 3x^2 \\
\hline
-1 & 21 \\
\frac{5}{3} & 0 \\
3 & 11 \\
\hline
\end{array}
\]

На основе графика, мы видим, что функция \(8 + 10x - 3x^2\) положительна в интервалах \((-\infty, \frac{5}{3})\) и \((3, +\infty)\). Она равна нулю в точке \(\frac{5}{3}\). Из этого следует, что функция \(y = \frac{6}{\sqrt{8 + 10x - 3x^2}}\) будет существовать только в этих интервалах и не будет определена, когда \(8 + 10x - 3x^2\) отрицательно.

Таким образом, область определения \(y = \frac{6}{\sqrt{8 + 10x - 3x^2}}\) это \((-\infty, \frac{5}{3})\) и \((3, +\infty)\).