Какова область определения функции y=^6sqrt(3-x)+sinx/(^4sqrt(5x-1))-sqrt(5x^2-16x+3) с корнями 6 и 4 степеней?

Чтобы определить область определения данной функции \(y = \sqrt[6]{3-x}+\frac{\sin(x)}{\sqrt[4]{5x-1}}-\sqrt{5x^2-16x+3}\), нужно учесть ограничения, которые могут возникнуть из-за присутствия корней нечетных степеней в знаменателях.

Давайте начнем с расчета области определения каждого из компонентов функции по отдельности.

1. Область определения корня шестой степени \(\sqrt[6]{3-x}\):
Так как корень шестой степени определен только для неотрицательных значений подкоренного выражения, то \(3-x \geq 0\). Найдем x, удовлетворяющий этому условию:
\[3 - x \geq 0\]
\[x \leq 3\]
Таким образом, область определения \(\sqrt[6]{3-x}\) равна \((- \infty, 3]\).

2. Область определения синуса \(\sin(x)\):
Синус определен для любого действительного числа. Таким образом, область определения \(\sin(x)\) равна \(\mathbb{R}\).

3. Область определения четвертого корня \(\sqrt[4]{5x-1}\):
Аналогично, четвертый корень определен только для неотрицательных значений подкоренного выражения, то есть \(5x-1 \geq 0\). Решим это неравенство:
\[5x - 1 \geq 0\]
\[x \geq \frac{1}{5}\]
Таким образом, область определения \(\sqrt[4]{5x-1}\) равна \([\frac{1}{5}, + \infty)\).

4. Область определения квадратного корня \(\sqrt{5x^2-16x+3}\):
Квадратный корень определен только для неотрицательных значений подкоренного выражения, то есть \(5x^2 - 16x + 3 \geq 0\). Для нахождения области определения мы можем найти корни этого квадратного уравнения.
Решим уравнение:
\[5x^2 - 16x + 3 = 0\]
Вычислим дискриминант:
\[D = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 256 - 60 = 196\]
Так как дискриминант положительный, у нас есть два корня:
\[x_1 = \frac{-(-16) + \sqrt{196}}{2 \cdot 5} = \frac{16 + 14}{10} = \frac{3}{5}\]
\[x_2 = \frac{-(-16) - \sqrt{196}}{2 \cdot 5} = \frac{16 - 14}{10} = \frac{1}{5}\]
Обратите внимание, что эти значения совпадают с корнями 6 и 4 степеней, указанными в задаче.
Исследуем знак подкоренного выражения \(5x^2 - 16x + 3\) на каждом из интервалов, которые образуются этими корнями:
На интервале \((-\infty, \frac{1}{5})\) выражение \(5x^2 - 16x + 3\) отрицательно (\(5x^2 - 16x + 3 < 0\)).
На интервале \((\frac{1}{5}, \frac{3}{5})\) выражение \(5x^2 - 16x + 3\) положительно (\(5x^2 - 16x + 3 > 0\)).
На интервале \((\frac{3}{5}, +\infty)\) выражение \(5x^2 - 16x + 3\) снова отрицательно (\(5x^2 - 16x + 3 < 0\)).

Теперь объединим области определения всех трех компонентов и получим область определения исходной функции:

\((- \infty, 3] \cap \mathbb{R} \cap [\frac{1}{5}, + \infty) \cap (-\infty, \frac{1}{5}) \cap (\frac{3}{5}, +\infty)\)

Можно заметить, что интервалы \((-\infty, \frac{1}{5})\) и \((\frac{3}{5}, +\infty)\) пересекаются и образуют интервал \((-\infty, \frac{1}{5}) \cup (\frac{3}{5}, +\infty)\).

Таким образом, окончательная область определения функции \(y = \sqrt[6]{3-x}+\frac{\sin(x)}{\sqrt[4]{5x-1}}-\sqrt{5x^2-16x+3}\) равна \((-\infty, \frac{1}{5}) \cup (\frac{3}{5}, 3]\).