Каково минимальное значение функции y=6x-6ln(x+3)+4 на интервале [-2,5]?

Чтобы определить минимальное значение функции \(y = 6x - 6\ln(x + 3) + 4\) на интервале \([-2,5]\), нам необходимо выполнить несколько шагов:

Шаг 1: Найдите критические точки, где производная функции равна нулю или не определена.
Шаг 2: Оцените значения функции в найденных критических точках и на концах интервала.
Шаг 3: Определите точку с наименьшим значением функции.

Шаг 1: Нахождение критических точек:
Чтобы найти критические точки, вычислим производную функции \(y\) и прировняем ее к нулю. Затем решим полученное уравнение.
\(\frac{{dy}}{{dx}} = 6 - \frac{{6}}{{x + 3}} = 0\)

Решим это уравнение:
\(6 - \frac{{6}}{{x + 3}} = 0\)
Умножим обе части уравнения на \(x + 3\), чтобы избавиться от знаменателя:
\(6(x + 3) - 6 = 0\)
\(6x + 18 - 6 = 0\)
\(6x + 12 = 0\)
\(6x = -12\)
\(x = -2\)

Таким образом, на интервале \([-2,5]\) у функции есть одна критическая точка \(x = -2\).

Шаг 2: Оценка значений функции:
Теперь мы оценим значения функции \(y\) в найденной критической точке \(x = -2\) и на концах интервала \([-2,5]\).

Для \(x = -2\):
\(y = 6(-2) - 6\ln((-2) + 3) + 4 = -12 - 6\ln(1) + 4 = -12 - 6\cdot0 + 4 = -8\)

Для \(x = 5\):
\(y = 6(5) - 6\ln(5 + 3) + 4 = 30 - 6\ln(8) + 4\)

Для \(x = -2\) получаем \(y = -8\), а для \(x = 5\) получаем \(y = 30 - 6\ln(8) + 4\).

Шаг 3: Определение точки с наименьшим значением функции:
Сравним полученные значения \(y\) для всех точек: \(y = -8\) и \(y = 30 - 6\ln(8) + 4\).
Минимальное значение функции равно \(-8\).

Итак, минимальное значение функции \(y = 6x - 6\ln(x + 3) + 4\) на интервале \([-2,5]\) равно \(-8\).