Какова напряжённость поля на расстоянии r/2 от оси равномерно заряженного цилиндра радиуса r с объёмной плотностью

Конечно! Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с определения формулы для напряженности электрического поля, создаваемого равномерно заряженным цилиндром. Формула для напряженности электрического поля на оси цилиндра вне его составляет:

\[ E = \frac{{k \cdot \lambda \cdot r}}{{L}} \]

Здесь:
- \(E\) - напряженность поля,
- \(k\) - постоянная Кулона (\(k = 8.99 \times 10^9 \, \text{{Н м}}^2/\text{{Кл}}^2\)),
- \(\lambda\) - линейная плотность заряда цилиндра (\(\lambda = \frac{{Q}}{{L}}\)),
- \(r\) - расстояние от оси цилиндра,
- \(L\) - длина цилиндра.

Также нам дано, что радиус \(R\) цилиндра равен \(r\), а объемная плотность заряда \(\rho\) равна \(\rho = \frac{{Q}}{{V}}\), где \(V\) - объем цилиндра.

Для решения задачи, нам нужно найти значение напряженности поля на расстоянии \(\frac{{r}}{{2}}\) от оси цилиндра. Для этого мы можем использовать формулу для линейной плотности заряда и объемной плотности заряда.

1. Найдем объем цилиндра, используя формулу объема цилиндра \(V\):
\[ V = \pi \cdot R^2 \cdot L \]
Подставив значение радиуса \(R = r\), мы получаем:
\[ V = \pi \cdot r^2 \cdot L \]

2. Теперь найдем выражение для объемной плотности заряда \(\rho\):
\[ \rho = \frac{{Q}}{{V}} \]
Ранее мы нашли значение объема \(V\). Заменим его в формуле:
\[ \rho = \frac{{Q}}{{\pi \cdot r^2 \cdot L}} \]

3. Далее, найдем линейную плотность заряда \(\lambda\):
\[ \lambda = \frac{{Q}}{{L}} \]
Заменим значение объемной плотности заряда \(\rho\) в формуле:
\[ \lambda = \rho \cdot \pi \cdot r^2 \]

4. И, наконец, найдем напряженность поля \(E\) на расстоянии \(r/2\) от оси цилиндра, используя формулу:
\[ E = \frac{{k \cdot \lambda \cdot r}}{{L}} \]
Подставим значение линейной плотности заряда \(\lambda = \rho \cdot \pi \cdot r^2\) и расстояние \(r/2\) в формулу:
\[ E = \frac{{k \cdot (\rho \cdot \pi \cdot r^2) \cdot (r/2)}}{{L}} \]
Упростим выражение:
\[ E = \frac{{k \cdot \rho \cdot \pi \cdot r^3}}{{2 \cdot L}} \]

Таким образом, мы получили выражение для напряженности электрического поля на расстоянии \(r/2\) от оси равномерно заряженного цилиндра радиуса \(r\) с объемной плотностью заряда \(\rho\):
\[ E = \frac{{k \cdot \rho \cdot \pi \cdot r^3}}{{2 \cdot L}} \]