Какова напряжённость поля на расстоянии r/2 от оси равномерно заряженного цилиндра радиуса r с объёмной плотностью

Конечно! Чтобы решить эту задачу, давайте начнем с определения формулы для напряженности электрического поля, создаваемого равномерно заряженным цилиндром. Формула для напряженности электрического поля на оси цилиндра вне его составляет:

$$E=\frac{k\cdot \lambda \cdot r}{L}$$

Здесь:
- $E$ - напряженность поля,
- $k$ - постоянная Кулона ($k=8.99\times {10}^9{\text{{Н м}}}^2/{\text{{Кл}}}^2$),
- $\lambda$ - линейная плотность заряда цилиндра ($\lambda =\frac{Q}{L}$),
- $r$ - расстояние от оси цилиндра,
- $L$ - длина цилиндра.

Также нам дано, что радиус $R$ цилиндра равен $r$, а объемная плотность заряда $\rho$ равна $\rho =\frac{Q}{V}$, где $V$ - объем цилиндра.

Для решения задачи, нам нужно найти значение напряженности поля на расстоянии $\frac{r}{2}$ от оси цилиндра. Для этого мы можем использовать формулу для линейной плотности заряда и объемной плотности заряда.

1. Найдем объем цилиндра, используя формулу объема цилиндра $V$:
$$V=\pi \cdot R^2\cdot L$$
Подставив значение радиуса $R=r$, мы получаем:
$$V=\pi \cdot r^2\cdot L$$

2. Теперь найдем выражение для объемной плотности заряда $\rho$:
$$\rho =\frac{Q}{V}$$
Ранее мы нашли значение объема $V$. Заменим его в формуле:
$$\rho =\frac{Q}{\pi \cdot r^2\cdot L}$$

3. Далее, найдем линейную плотность заряда $\lambda$:
$$\lambda =\frac{Q}{L}$$
Заменим значение объемной плотности заряда $\rho$ в формуле:
$$\lambda =\rho \cdot \pi \cdot r^2$$

4. И, наконец, найдем напряженность поля $E$ на расстоянии $r/2$ от оси цилиндра, используя формулу:
$$E=\frac{k\cdot \lambda \cdot r}{L}$$
Подставим значение линейной плотности заряда $\lambda =\rho \cdot \pi \cdot r^2$ и расстояние $r/2$ в формулу:
$$E=\frac{k\cdot (\rho \cdot \pi \cdot r^2)\cdot (r/2)}{L}$$
Упростим выражение:
$$E=\frac{k\cdot \rho \cdot \pi \cdot r^3}{2\cdot L}$$

Таким образом, мы получили выражение для напряженности электрического поля на расстоянии $r/2$ от оси равномерно заряженного цилиндра радиуса $r$ с объемной плотностью заряда $\rho$:
$$E=\frac{k\cdot \rho \cdot \pi \cdot r^3}{2\cdot L}$$