Какова мера угла, обозначенного на рисунке, когда прямоугольный треугольник и квадрат расположены так, как показано?

Для того чтобы определить меру угла, обозначенного на рисунке, мы должны рассмотреть соотношения между сторонами и углами треугольника и квадрата.

Из условия задачи мы знаем, что данный треугольник является прямоугольным, поэтому у него есть один прямой угол. Обозначим этот угол как \(\angle ABC\), где вершина прямого угла обозначена буквой \(B\).

Одна из сторон квадрата соответствует стороне треугольника, на которой лежит прямой угол. Пусть эта сторона квадрата равна \(x\).

Так как треугольник прямоугольный, то у него есть катеты и гипотенуза. Катеты обозначим как \(AB\) и \(BC\), а гипотенузу обозначим как \(AC\).

Из свойств прямоугольного треугольника мы знаем, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]

Так как \(AB = x\) (сторона квадрата), а \(BC = 2x\) (двойная сторона квадрата), мы можем записать:

\[AC^2 = x^2 + (2x)^2\]

Упрощая выражение, получаем:

\[AC^2 = x^2 + 4x^2\]

\[AC^2 = 5x^2\]

Теперь найдем меру угла \(\angle ABC\). Для этого воспользуемся тангенсом этого угла:

\[\tan(\angle ABC) = \frac{BC}{AB} = \frac{2x}{x} = 2\]

Таким образом, мы получили, что тангенс угла \(\angle ABC\) равен \(2\). Чтобы найти меру угла, мы можем воспользоваться таблицей значений тангенса. Из таблицы можно увидеть, что тангенс угла \(2\) равен приблизительно \(63.43^\circ\).

Итак, мера угла \(\angle ABC\) равна приблизительно \(63.43^\circ\).