Каково расстояние между началом координат и прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3x-2y+1=0 и x+3y-7=0 и перпендикулярная первой из данных прямых?
Морж
Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать формулу расстояния между точкой и прямой.
Сначала найдем точку пересечения прямых. Для этого решим систему уравнений, составленную из данных прямых:
\[\begin{cases} 3x-2y+1=0 \\ x+3y-7=0 \end{cases}\]
Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки, методом сложения или применив метод Крамера. Давайте воспользуемся методом сложения.
Умножим второе уравнение на 3, чтобы избавиться от коэффициента перед y:
\[\begin{cases} 3x-2y+1=0 \\ 3x+9y-21=0 \end{cases}\]
Теперь сложим эти два уравнения для нахождения значения x:
\[6y-20=0\]
\[6y=20\]
\[y=\frac{20}{6}\]
\[y=\frac{10}{3}\]
Теперь, чтобы узнать значение x, подставим найденное значение y в любое из исходных уравнений (например, в первое):
\[3x-2\left(\frac{10}{3}\right)+1=0\]
\[3x-\frac{20}{3}+1=0\]
\[3x-\frac{20}{3}+\frac{3}{3}=0\]
\[3x-\frac{20}{3}+\frac{3}{3}=0\]
\[3x-\frac{17}{3}=0\]
\[3x=\frac{17}{3}\]
\[x=\frac{17}{9}\]
Таким образом, точка пересечения прямых имеет координаты \(\left(\frac{17}{9}, \frac{10}{3}\right)\).
Теперь нам нужно найти прямую, перпендикулярную первой данной прямой. Мы знаем, что перпендикулярная прямая имеет противоположные значения коэффициентов перед x и y в уравнении прямой. Таким образом, у нас получится уравнение вида:
\(-2x - 3y + c = 0\)
где c - некоторая константа.
Теперь нам нужно найти значение c. Для этого подставим координаты точки пересечения прямых \(\left(\frac{17}{9}, \frac{10}{3}\right)\) в данное уравнение:
\(-2\left(\frac{17}{9}\right) - 3\left(\frac{10}{3}\right) + c = 0\)
\(-\frac{34}{9} - \frac{30}{3} + c = 0\)
\(-\frac{34}{9} - 10 + c = 0\)
\[-\frac{34}{9} -10 + c=0\]
\[-\frac{34}{9} -\frac{90}{9}+ c = 0\]
\[-\frac{124}{9} + c = 0\]
\[c = \frac{124}{9}\]
Таким образом, уравнение перпендикулярной прямой имеет вид:
\(-2x - 3y + \frac{124}{9} = 0\)
Теперь мы можем использовать формулу расстояния от начала координат до прямой:
\[d = \frac{|A \cdot 0 + B \cdot 0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]
Где A, B и C - коэффициенты в нашем уравнении перпендикулярной прямой. В данном случае, A = -2, B = -3 и C = \(\frac{124}{9}\).
Подставим значения в формулу и рассчитаем расстояние:
\[d = \frac{|-2 \cdot 0 + -3 \cdot 0 + \frac{124}{9}|}{\sqrt{(-2)^2 + (-3)^2}}\]
\[d = \frac{\frac{124}{9}}{\sqrt{4 + 9}}\]
\[d = \frac{\frac{124}{9}}{\sqrt{13}}\]
\[d = \frac{124}{9 \cdot \sqrt{13}}\]
Таким образом, расстояние между началом координат и прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3x-2y+1=0 и x+3y-7=0, и перпендикулярная первой из данных прямых, равно \(\frac{124}{9 \cdot \sqrt{13}}\).
Сначала найдем точку пересечения прямых. Для этого решим систему уравнений, составленную из данных прямых:
\[\begin{cases} 3x-2y+1=0 \\ x+3y-7=0 \end{cases}\]
Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки, методом сложения или применив метод Крамера. Давайте воспользуемся методом сложения.
Умножим второе уравнение на 3, чтобы избавиться от коэффициента перед y:
\[\begin{cases} 3x-2y+1=0 \\ 3x+9y-21=0 \end{cases}\]
Теперь сложим эти два уравнения для нахождения значения x:
\[6y-20=0\]
\[6y=20\]
\[y=\frac{20}{6}\]
\[y=\frac{10}{3}\]
Теперь, чтобы узнать значение x, подставим найденное значение y в любое из исходных уравнений (например, в первое):
\[3x-2\left(\frac{10}{3}\right)+1=0\]
\[3x-\frac{20}{3}+1=0\]
\[3x-\frac{20}{3}+\frac{3}{3}=0\]
\[3x-\frac{20}{3}+\frac{3}{3}=0\]
\[3x-\frac{17}{3}=0\]
\[3x=\frac{17}{3}\]
\[x=\frac{17}{9}\]
Таким образом, точка пересечения прямых имеет координаты \(\left(\frac{17}{9}, \frac{10}{3}\right)\).
Теперь нам нужно найти прямую, перпендикулярную первой данной прямой. Мы знаем, что перпендикулярная прямая имеет противоположные значения коэффициентов перед x и y в уравнении прямой. Таким образом, у нас получится уравнение вида:
\(-2x - 3y + c = 0\)
где c - некоторая константа.
Теперь нам нужно найти значение c. Для этого подставим координаты точки пересечения прямых \(\left(\frac{17}{9}, \frac{10}{3}\right)\) в данное уравнение:
\(-2\left(\frac{17}{9}\right) - 3\left(\frac{10}{3}\right) + c = 0\)
\(-\frac{34}{9} - \frac{30}{3} + c = 0\)
\(-\frac{34}{9} - 10 + c = 0\)
\[-\frac{34}{9} -10 + c=0\]
\[-\frac{34}{9} -\frac{90}{9}+ c = 0\]
\[-\frac{124}{9} + c = 0\]
\[c = \frac{124}{9}\]
Таким образом, уравнение перпендикулярной прямой имеет вид:
\(-2x - 3y + \frac{124}{9} = 0\)
Теперь мы можем использовать формулу расстояния от начала координат до прямой:
\[d = \frac{|A \cdot 0 + B \cdot 0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\]
Где A, B и C - коэффициенты в нашем уравнении перпендикулярной прямой. В данном случае, A = -2, B = -3 и C = \(\frac{124}{9}\).
Подставим значения в формулу и рассчитаем расстояние:
\[d = \frac{|-2 \cdot 0 + -3 \cdot 0 + \frac{124}{9}|}{\sqrt{(-2)^2 + (-3)^2}}\]
\[d = \frac{\frac{124}{9}}{\sqrt{4 + 9}}\]
\[d = \frac{\frac{124}{9}}{\sqrt{13}}\]
\[d = \frac{124}{9 \cdot \sqrt{13}}\]
Таким образом, расстояние между началом координат и прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3x-2y+1=0 и x+3y-7=0, и перпендикулярная первой из данных прямых, равно \(\frac{124}{9 \cdot \sqrt{13}}\).
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
