Какова механическая энергия, которая возникает у Луны из-за ее вращения в поле гравитации Земли?

Для того чтобы решить эту задачу, нам понадобится использовать формулу для расчета механической энергии вращения. Формула выглядит следующим образом:

\[E = \frac{1}{2} I \omega^2\]

где \(E\) - механическая энергия, \(I\) - момент инерции и \(\omega\) - угловая скорость.

Момент инерции плоской фигуры (в данном случае - Луны) можно рассчитать с помощью следующей формулы:

\[I = \frac{2}{5} m r^2\]

где \(m\) - масса Луны и \(r\) - радиус Луны.

Угловая скорость \(\omega\) зависит от периода вращения Луны \(T\) и может быть выражена как:

\[\omega = \frac{2 \pi}{T}\]

Теперь мы можем приступить к расчетам. Масса Луны составляет примерно \(7,35 \times 10^{22}\) кг, а ее радиус равен приблизительно 1738 км. Период вращения Луны вокруг своей оси составляет около 27 суток, что примерно равно \(2,35 \times 10^6\) секунд.

Давайте подставим все значения в формулы и посчитаем механическую энергию:

Сначала рассчитаем момент инерции:

\[I = \frac{2}{5} \times (7,35 \times 10^{22}) \times (1738 \times 10^3)^2\]

\[I \approx 2,46 \times 10^{40} \, \text{кг} \cdot \text{м}^2\]

Теперь найдем угловую скорость:

\[\omega = \frac{2 \pi}{2,35 \times 10^6}\]

\[\omega \approx 2,68 \times 10^{-6} \, \text{рад/с}\]

Наконец, рассчитаем механическую энергию:

\[E = \frac{1}{2} \times (2,46 \times 10^{40}) \times (2,68 \times 10^{-6})^2\]

\[E \approx 8,10 \times 10^{29} \, \text{Дж}\]

Таким образом, механическая энергия, возникающая у Луны из-за ее вращения в поле гравитации Земли, составляет примерно \(8,10 \times 10^{29}\) джоулей.