Какова масса сегмента стержня между 1 и 2, если его плотность определяется функцией p(х)=4x^2+5x+2?

Чтобы найти массу сегмента стержня между точками 1 и 2, мы должны проинтегрировать функцию плотности стержня от точки 1 до точки 2. Давайте начнем.

Функция плотности \(p(x) = 4x^2 + 5x + 2\) задает зависимость плотности стержня от его положения \(x\). Чтобы найти массу сегмента, мы сначала должны найти функцию массы \(m(x)\), которая описывает зависимость массы стержня от его положения.

Для этого мы проинтегрируем функцию плотности:

\[
m(x) = \int p(x) dx
\]

Подставим функцию плотности:

\[
m(x) = \int (4x^2 + 5x + 2) dx
\]

Проинтегрируем каждый член по отдельности:

\[
m(x) = \int 4x^2 dx + \int 5x dx + \int 2 dx
\]

Проинтегрируем:

\[
m(x) = \frac{4}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 + 2x + C
\]

где \(C\) - это постоянная интегрирования.

Теперь, чтобы найти массу сегмента стержня между точками 1 и 2, мы вычислим разность функции массы в точках 2 и 1:

\[
m(2) - m(1) = \left(\frac{4}{3}(2)^3 + \frac{5}{2}(2)^2 + 2(2) + C\right) - \left(\frac{4}{3}(1)^3 + \frac{5}{2}(1)^2 + 2(1) + C\right)
\]

Упростим выражение:

\[
m(2) - m(1) = \left(\frac{32}{3} + 10 + 4 + C\right) - \left(\frac{4}{3} + \frac{5}{2} + 2 + C\right)
\]

Взаимно сокращаем постоянные \(C\):

\[
m(2) - m(1) = \frac{32}{3} + 10 + 4 - \frac{4}{3} - \frac{5}{2} - 2
\]

Вычисляем:

\[
m(2) - m(1) = \frac{32}{3} - \frac{4}{3} + 10 + 4 - \frac{5}{2} - 2
\]

\[
m(2) - m(1) = \frac{28}{3} + 12 - \frac{5}{2} - 2
\]

\[
m(2) - m(1) = \frac{28}{3} + \frac{36}{3} - \frac{5}{2} - \frac{6}{2}
\]

\[
m(2) - m(1) = \frac{64}{3} - \frac{11}{2}
\]

\[
m(2) - m(1) = \frac{128}{6} - \frac{33}{6}
\]

\[
m(2) - m(1) = \frac{95}{6}
\]

Итак, масса сегмента стержня между точками 1 и 2 равна \(\frac{95}{6}\) единиц массы.