Какова масса груза, который горизонтально закреплен на пружине с жесткостью 400н/м, если он совершает гармонические

Хорошо, начнем с расчета массы груза. Дано:
Жесткость пружины (k) = 400 Н/м
Период колебаний (T) = 0.3 с
Амплитуда колебаний (A) = 20 см = 0.2 м

Мы можем использовать формулу периода колебаний для пружинного маятника:

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \]

где m - масса груза.

Для начала, давайте найдем массу груза.

Известно, что период колебаний равен 0.3 секунды, поэтому:

\[ 0.3 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{400}} \]

\[ \sqrt{\frac{m}{400}} = \frac{0.3}{2\pi} \]

Теперь возводим обе части уравнения в квадрат:

\[ \frac{m}{400} = \left(\frac{0.3}{2\pi}\right)^2 \]

\[ m = 400 \cdot \left(\frac{0.3}{2\pi}\right)^2 \]

С помощью калькулятора получаем:

\[ m \approx 0.0095 \, \text{кг} \]

Теперь, когда мы знаем массу груза, мы можем рассчитать частоту колебаний.

Частота колебаний (f) определяется следующей формулой:

\[ f = \frac{1}{T} \]

Подставляем значение периода (T = 0.3 сек) и рассчитываем частоту:

\[ f = \frac{1}{0.3} \]

\[ f \approx 3.33 \, \text{Гц} \]

Далее, мы рассчитаем максимальные значения скорости (v) и ускорения (a) груза.

Максимальная скорость (v) груза достигается, когда он проходит через положение равновесия (равнодействующая сил равна нулю) и формула для максимальной скорости имеет вид:

\[ v_{max} = A \cdot 2\pi \cdot f \]

Подставляем значения амплитуды (A = 0.2 м) и частоты (f = 3.33 Гц) и рассчитываем:

\[ v_{max} = 0.2 \cdot 2\pi \cdot 3.33 \]

\[ v_{max} \approx 4.19 \, \text{м/с} \]

Максимальное ускорение (a) груза можно найти, используя следующую формулу:

\[ a_{max} = -A \cdot (2\pi \cdot f)^2 \]

Подставляем значения амплитуды (A = 0.2 м) и частоты (f = 3.33 Гц) и рассчитываем:

\[ a_{max} = -0.2 \cdot (2\pi \cdot 3.33)^2 \]

\[ a_{max} \approx -65.87 \, \text{м/с}^2 \]

Теперь найдем уравнение для координаты (x) груза. Для гармонических колебаний пружинного маятника оно имеет вид:

\[ x(t) = A \cdot \cos(2\pi \cdot f \cdot t) \]

где x - координата груза в зависимости от времени (t).

Уравнение для скорости (v) груза определяется как производная координаты (x) по времени:

\[ v(t) = -A \cdot (2\pi \cdot f) \cdot \sin(2\pi \cdot f \cdot t) \]

где v - скорость груза в зависимости от времени (t).

Уравнение для ускорения (a) груза определяется как производная скорости (v) по времени:

\[ a(t) = -A \cdot (2\pi \cdot f)^2 \cdot \cos(2\pi \cdot f \cdot t) \]

где a - ускорение груза в зависимости от времени (t).

Теперь давайте нарисуем соответствующие графики.

График координаты (x) груза в зависимости от времени (t) будет представлять собой синусоиду с амплитудой 0.2 м и периодом 0.3 секунды.

График скорости (v) груза будет представлять собой косинусоиду с амплитудой примерно 4.19 м/с и периодом 0.3 секунды.

График ускорения (a) груза будет представлять собой синусоиду с амплитудой примерно 65.87 м/с² и периодом 0.3 секунды.

Наконец, для расчета полной энергии колеблющегося груза, мы можем использовать следующую формулу:

\[ E_{total} = E_{kinetic} + E_{potential} \]

Энергия кинетическая (E_{kinetic}) определяется как половина произведения массы (m) на квадрат скорости (v):

\[ E_{kinetic} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 \]

Энергия потенциальная (E_{potential}) определяется как половина произведения жесткости (k) на квадрат амплитуды (A):

\[ E_{potential} = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2 \]

Подставляем значения и рассчитываем:

\[ E_{kinetic} = \frac{1}{2} \cdot 0.0095 \, \text{кг} \cdot (4.19 \, \text{м/с})^2 \]

\[ E_{kinetic} \approx 0.04 \, \text{Дж} \]

\[ E_{potential} = \frac{1}{2} \cdot 400 \, \text{Н/м} \cdot (0.2 \, \text{м})^2 \]

\[ E_{potential} = 4 \, \text{Дж} \]

Теперь суммируем энергии:

\[ E_{total} = 0.04 \, \text{Дж} + 4 \, \text{Дж} \]

\[ E_{total} = 4.04 \, \text{Дж} \]

Вот и все! Мы рассчитали массу груза, частоту колебаний, максимальные значения скорости и ускорения, составили уравнения для координаты, скорости и ускорения груза, нарисовали соответствующие графики и рассчитали полную энергию колеблющегося груза.