Каков логарифмический декремент затухания колебаний груза массой 20 г на пружине жесткостью 5 Н/м, если за 20 минут

Для решения этой задачи, нам понадобится знание о колебаниях груза на пружине и выражении логарифмического декремента затухания. Давайте разберемся пошагово.

1. Логарифмический декремент затухания (ЛДЗ) обозначается буквой \(\delta\) и выражается формулой:
\[\delta = \frac{1}{n} \cdot \ln{\left(\frac{A_1}{A_2}\right)}\]
где \(n\) - число полных колебаний, \(A_1\) - амплитуда первого колебания, \(A_2\) - амплитуда \(n\)-го колебания.

2. Задача говорит, что амплитуда груза уменьшается в 6 раз за 20 минут. Это означает, что \(A_2 = \frac{1}{6} \cdot A_1\).

3. Значение \(n\) нам не известно, поэтому давайте введем это неизвестное значение как переменную \(n\).

4. Задача также говорит, что время, за которое происходит уменьшение амплитуды, равно 20 минут. Это значит, что полный период колебаний равен 20 минут.

5. Известно, что период колебаний \(T = \frac{2\pi}{\omega}\), где \(\omega\) - круговая частота и она равна \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\) для груза на пружине. Здесь \(k\) - жесткость пружины, а \(m\) - масса груза.

6. В нашем случае, \(m = 20 \, \text{г} = 0.02 \, \text{кг}\), \(k = 5 \, \text{Н/м}\), поэтому \(\omega = \sqrt{\frac{5}{0.02}}\).

7. Подставим известные значения в формулу для \(\delta\) из пункта 1:
\[\delta = \frac{1}{n} \cdot \ln{\left(\frac{A_1}{\frac{1}{6} \cdot A_1}\right)}\]

8. Упростим формулу:
\[\delta = \frac{1}{n} \cdot \ln{6}\]

9. Чтобы найти значение \(\delta\), нам нужно найти значение \(n\). Так как полный период колебаний равен 20 минут, то мы можем выразить \(n\) следующим образом: \(T = n \cdot t\), где \(T\) - период колебаний, а \(t = 20 \, \text{мин} = \frac{20}{60} \, \text{часов} = \frac{1}{3} \, \text{часа}\).

10. Подставив известные значения, получим:
\(\frac{2\pi}{\omega} = n \cdot \frac{1}{3}\).

11. Теперь мы можем найти значение \(n\):
\(n = \frac{2\pi}{\omega} \cdot 3\).

12. Подставим значение \(n\) обратно в формулу для \(\delta\):
\[\delta = \frac{1}{\frac{2\pi}{\omega} \cdot 3} \cdot \ln{6}\]

13. Теперь, когда у нас есть полная формула для \(\delta\), мы можем вычислить ее численное значение, подставив значения \(\omega\) и \(\ln{6}\).

14. Окончательный ответ будет числовым значением логарифмического декремента затухания.

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять шаги решения задачи. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.