Какова формула для вычисления объема данного конуса, осевым сечением которого является треугольник со сторонами

Чтобы вычислить объем конуса, осевым сечением которого является треугольник, необходимо использовать формулу: \[V = \frac{1}{3} \cdot A \cdot h,\] где \(V\) - объем конуса, \(A\) - площадь осевого сечения, \(h\) - высота конуса.

Для данной задачи у нас уже известны стороны треугольника осевого сечения, которые равны 10 см, 10 см и \(x\) см (где \(x\) - третья сторона треугольника). Чтобы определить значение \(x\), необходимо использовать теорему косинусов для треугольников. Выглядит она следующим образом:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C,\]

где \(c\) - сторона треугольника противолежащая углу \(C\), \(a\) и \(b\) - две другие стороны треугольника.

В нашем случае \(a = 10\) см, \(b = 10\) см, а угол между ними равен 180 градусов (поскольку это осевое сечение треугольника). Подставляя значения в формулу, получаем:

\[c^2 = 10^2 + 10^2 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot \cos 180^\circ.\]

Раскрывая скобки и вычисляя косинус 180 градусов, получаем:

\[c^2 = 100 + 100 - 2 \cdot 10 \cdot 10 \cdot (-1).\]

Упрощая выражение, получаем:

\[c^2 = 200 + 20 \cdot (-1).\]
\[c^2 = 200 - 20.\]
\[c^2 = 180.\]

Чтобы найти значение \(c\), извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

\[c = \sqrt{180}.\]

Теперь у нас есть значение стороны треугольника осевого сечения - это \(\sqrt{180}\) см.

Получив значение стороны треугольника, можно найти его площадь, использовав формулу Герона для треугольника:

\[S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)},\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(p\) - полупериметр треугольника, равный \(\frac{a + b + c}{2}\).

Подставляя значения сторон треугольника в эту формулу, получаем:

\[S = \sqrt{\left(\frac{10 + 10 + \sqrt{180}}{2}\right) \left(\frac{10 + 10 + \sqrt{180}}{2} - 10\right) \left(\frac{10 + 10 + \sqrt{180}}{2} - 10\right) \left(\frac{10 + 10 + \sqrt{180}}{2} - \sqrt{180}\right)}.\]

Вычисляя выражение в скобках, получаем:

\[S = \sqrt{\left(\frac{20 + \sqrt{180}}{2}\right) \left(\frac{20 + \sqrt{180}}{2} - 10\right) \left(\frac{20 + \sqrt{180}}{2} - 10\right) \left(\frac{20 + \sqrt{180}}{2} - \sqrt{180}\right)}.\]

Далее проводим простые математические вычисления:

\[S = \sqrt{\left(\frac{20 + \sqrt{180}}{2}\right) \left(\frac{20+\sqrt{180}}{2} - 10\right) \left(\frac{20+\sqrt{180}}{2} - 10\right) \left(\frac{20+\sqrt{180}}{2} - \sqrt{180}\right)},\]
\[S = \sqrt{\left(\frac{20+\sqrt{180}}{2}\right) \left(\frac{20+\sqrt{180}}{2} - 10\right) \left(\frac{20+\sqrt{180}}{2} - 10\right) \cdot \left(\frac{20+\sqrt{180}}{2} - \sqrt{180}\right)},\]
\[S = \sqrt{\left(\frac{20+\sqrt{180}}{2}\right) \left(\frac{20+\sqrt{180} - 20}{2}\right) \left(\frac{20+\sqrt{180} - 20}{2}\right) \left(\frac{20+\sqrt{180} - \sqrt{180}}{2}\right)},\]
\[S = \sqrt{\left(\frac{20+\sqrt{180}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{180}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{180}}{2}\right) \left(\frac{20}{2}\right)},\]
\[S = \sqrt{\frac{(20+\sqrt{180})\sqrt{180} \cdot \sqrt{180} \cdot 20}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}},\]
\[S = \sqrt{\frac{(20+\sqrt{180}) \cdot 180 \cdot 180 \cdot 20}{2^4}},\]
\[S = \sqrt{\frac{(20+\sqrt{180}) \cdot 180 \cdot 180 \cdot 20}{16}}.\]

После вычислений мы получаем значение площади треугольника осевого сечения. Let"s calculate this.