Каков косинус угла между плоскостями ABC1 и BCD1 для прямоугольного параллелепипеда abcda1b1c1, где ab=4 см, AD=4

Чтобы найти косинус угла между плоскостями ABC1 и BCD1, нам необходимо воспользоваться формулой для нахождения косинуса угла между двумя плоскостями. Для этого нам нужно знать нормали к этим плоскостям.

Сначала найдем нормали к плоскостям ABC1 и BCD1. Затем мы сможем использовать эти нормали для вычисления косинуса угла между плоскостями.

1. Найдем нормаль к плоскости ABC1.
Плоскость ABC1 образована точками A, B и C1. Найдем векторное произведение векторов AB и AC1 для получения нормали к плоскости ABC1.

Используя точки A (0, 0, 0), B (4, 0, 0) и C1 (0, 0, 3), можем найти векторы AB и AC1:
\(\overrightarrow{AB} = (4-0, 0-0, 0-0) = (4, 0, 0)\)
\(\overrightarrow{AC1} = (0-0, 0-0, 3-0) = (0, 0, 3)\)

Теперь найдем векторное произведение векторов AB и AC1:
\(\overrightarrow{N_{ABC1}} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC1}\)

Чтобы найти векторное произведение, можно использовать формулу:
\(\overrightarrow{N_{ABC1}} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix}\)

Раскрывая определитель, получим:
\(\overrightarrow{N_{ABC1}} = (0, -12, 0)\)

Таким образом, нормаль к плоскости ABC1 равна \(\overrightarrow{N_{ABC1}} = (0, -12, 0)\).

2. Теперь найдем нормаль к плоскости BCD1.
Плоскость BCD1 образована точками B, C, и D1. Найдем векторное произведение векторов BC и BD1 для получения нормали к плоскости BCD1.

Используя точки B (4, 0, 0), C (4, 0, 3) и D1 (4, 4, 3), можем найти векторы BC и BD1:
\(\overrightarrow{BC} = (4-4, 0-0, 3-0) = (0, 0, 3)\)
\(\overrightarrow{BD1} = (4-4, 0-4, 3-3) = (0, -4, 0)\)

Теперь найдем векторное произведение векторов BC и BD1:
\(\overrightarrow{N_{BCD1}} = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD1}\)

Чтобы найти векторное произведение, можно использовать формулу:
\(\overrightarrow{N_{BCD1}} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & -4 & 0 \end{vmatrix}\)

Раскрывая определитель, получим:
\(\overrightarrow{N_{BCD1}} = (12, 0, 0)\)

Таким образом, нормаль к плоскости BCD1 равна \(\overrightarrow{N_{BCD1}} = (12, 0, 0)\).

3. Теперь, чтобы найти косинус угла между плоскостями ABC1 и BCD1, мы можем использовать формулу:
\(\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{N_{ABC1}} \cdot \overrightarrow{N_{BCD1}}}{|\overrightarrow{N_{ABC1}}| \cdot |\overrightarrow{N_{BCD1}}|}\)

Подставляя значения нормалей к плоскостям ABC1 и BCD1, получаем:
\(\cos(\theta) = \frac{(0, -12, 0) \cdot (12, 0, 0)}{|(0, -12, 0)| \cdot |(12, 0, 0)|}\)
\(\cos(\theta) = \frac{(0 \cdot 12) + (-12 \cdot 0) + (0 \cdot 0)}{\sqrt{0^2 + (-12)^2 + 0^2} \cdot \sqrt{12^2 + 0^2 + 0^2}}\)
\(\cos(\theta) = \frac{0}{12 \cdot 1}\)
\(\cos(\theta) = 0\)

Таким образом, косинус угла между плоскостями ABC1 и BCD1 равен 0.


Я надеюсь, что данное подробное решение помогло вам понять, как найти косинус угла между плоскостями ABC1 и BCD1 для прямоугольного параллелепипеда abcda1b1c1. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я всегда готов помочь!