Какова формула для определения магнитной индукции на оси витка с током на расстоянии x от его плоскости

Формула для определения магнитной индукции \(B\) на оси витка с током на расстоянии \(x\) от его плоскости может быть выведена с использованием закона Био-Савара-Лапласа.

Закон Био-Савара-Лапласа устанавливает, что магнитное поле \(d\mathbf{B}\), создаваемое током \(I\) в элементе проводника длиной \(dl\), пропорционально произведению значения тока, длины элемента проводника, и векторного произведения радиуса вектора \(r\) и элемента длины \(dl\):

\[d\mathbf{B} = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{Id\mathbf{l} \times \mathbf{r}}}{{r^3}}\]

Где \(\mu_0\) - проницаемость свободного пространства, \(\times\) обозначает векторное произведение.

Для определения магнитной индукции на оси витка, нужно взять проекцию магнитного поля \(d\mathbf{B}\) на ось витка. Пусть \(dB_x\) будет проекцией \(d\mathbf{B}\) на ось витка. Так как виток симметричен относительно оси витка, то \(dB_x\) будет равна полярной составляющей \(d\mathbf{B}\) умноженной на косинус угла \(\theta\) между векторами \(d\mathbf{B}\) и осью витка.

Теперь мы можем интегрировать \(dB_x\) по всем элементам длины витка, чтобы получить магнитную индукцию на оси витка от всего витка. Обозначим \(\theta_1\) и \(\theta_2\) концы витка, а \(R\) - радиус витка.

\[\begin{aligned}
B &= \int dB_x \\
&= \int \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{Idl \cos\theta}}{{r^2}} \\
&= \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{I}}{{R^2}} \int \cos\theta dl
\end{aligned}\]

Чтобы решить этот интеграл, нужно параметризовать длину витка \(l\) в терминах \(\theta\) и найти соответствующие пределы интегрирования. Поскольку виток симметричен, угол \(\theta\) будет меняться от \(-\frac{{\pi}}{{2}}\) до \(\frac{{\pi}}{{2}}\), и длина элемента длины \(dl\) будет равна \(Rd\theta\):

\[\begin{aligned}
B &= \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{I}}{{R^2}} \int_{-\frac{{\pi}}{{2}}}^{\frac{{\pi}}{{2}}} \cos\theta Rd\theta \\
&= \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{I}}{{R^2}} \left[\sin\theta\right]_{-\frac{{\pi}}{{2}}}^{\frac{{\pi}}{{2}}} \\
&= \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{I}}{{R^2}} \left(\sin\frac{{\pi}}{{2}} - \sin\left(-\frac{{\pi}}{{2}}\right)\right) \\
&= \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{2I}}{{R^2}}
\end{aligned}\]

Таким образом, формула для определения магнитной индукции \(B\) на оси витка с током на расстоянии \(x\) от его плоскости с использованием закона Био-Савара-Лапласа составляет:

\[B = \frac{{\mu_0}}{{4\pi}} \frac{{2I}}{{R^2}}\]

Где \(I\) - ток в витке, \(R\) - радиус витка, \(\mu_0\) - проницаемость свободного пространства.