Какова длина высоты, а также длины катетов прямоугольного треугольника, в котором гипотенуза делится на отрезки длиной 9 и 289?
Антоновна
Давайте решим эту задачу пошагово.
Шаг 1: Предположим, что длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна \( c \), а длина катетов равна \( a \) и \( b \).
Шаг 2: По теореме Пифагора, сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. Формула для этого выглядит так:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Шаг 3: В данной задаче гипотенуза делится на два отрезка, длины которых равны 9 и 289. Таким образом, длина гипотенузы \( c \) равна сумме длин этих отрезков:
\[ c = 9 + 289 = 298 \]
Шаг 4: Теперь мы можем подставить значение \( c \) в уравнение Пифагора:
\[ a^2 + b^2 = 298^2 \]
Шаг 5: В данной задаче нам нужно найти длину высоты треугольника. Высота образует прямой угол с одним из катетов, и она перпендикулярна к этому катету. Пусть высота треугольника равна \( h \), и она опущена на катет \( a \).
Шаг 6: Так как прямоугольный треугольник разбит на два подобных треугольника, мы можем применить подобие треугольников, чтобы найти длину высоты. В подобных треугольниках отношение длины высот к длине катета равно отношению длины гипотенузы к длине смежного катета.
\[ \frac{h}{a} = \frac{c}{b} \]
Шаг 7: Подставим значения \( c = 298 \) и \( b = 289 \) в уравнение:
\[ \frac{h}{a} = \frac{298}{289} \]
Шаг 8: Теперь мы имеем систему уравнений, состоящую из уравнения Пифагора и уравнения подобия треугольников:
\[ \begin{cases} a^2 + b^2 = 298^2 \\ \frac{h}{a} = \frac{298}{289} \end{cases} \]
Шаг 9: Решим систему уравнений. Возможно, самым удобным способом будет избавиться от выражения \( h \) во втором уравнении, а затем решить полученное уравнение относительно \( a \).
Шаг 10: Умножим обе части второго уравнения на \( a \), чтобы избавиться от дроби:
\[ h = \frac{298}{289} \cdot a \]
Шаг 11: Подставим это выражение в первое уравнение:
\[ a^2 + b^2 = 298^2 \]
\[ a^2 + \left(\frac{298}{289} \cdot a\right)^2 = 298^2 \]
Шаг 12: Раскроем скобку, выполнив квадрат во втором слагаемом:
\[ a^2 + \frac{298^2}{289^2} \cdot a^2 = 298^2 \]
Шаг 13: Соберем коэффициенты при \( a^2 \) вместе:
\[ \left(1 + \frac{298^2}{289^2}\right) a^2 = 298^2 \]
Шаг 14: После упрощения уравнения получаем:
\[ \left(\frac{289^2 + 298^2}{289^2}\right) a^2 = 298^2 \]
Шаг 15: Рассчитаем числитель дроби:
\[ \frac{289^2 + 298^2}{289^2} = \frac{83821 + 88804}{83921} = \frac{172625}{83921} \]
Шаг 16: Подставим это значение обратно в уравнение:
\[ \frac{172625}{83921} a^2 = 298^2 \]
Шаг 17: Теперь решим полученное уравнение относительно \( a^2 \):
\[ a^2 = \frac{83921}{172625} \cdot 298^2 \]
Шаг 18: Вычислим правую часть уравнения:
\[ a^2 = \frac{83921}{172625} \cdot 298^2 = \frac{83921}{172625} \cdot 88804 \approx 43251.942 \]
Шаг 19: Для нахождения \( a \) возьмем квадратный корень из полученного значения:
\[ a \approx \sqrt{43251.942} \approx 207.766 \]
Шаг 20: Итак, мы нашли длину катета \( a \), которая приблизительно равна 207.766.
Шаг 21: Чтобы найти длину второго катета \( b \), подставим значение \( a \) в уравнение Пифагора:
\[ a^2 + b^2 = 298^2 \]
\[ 207.766^2 + b^2 = 298^2 \]
Шаг 22: Рассчитаем правую часть уравнения:
\[ 207.766^2 = 43198.071 \]
Шаг 23: Разрешим уравнение относительно \( b^2 \):
\[ b^2 = 298^2 - 43198.071 \approx 66614.929 \]
Шаг 24: Вычислим квадратный корень из полученного значения:
\[ b \approx \sqrt{66614.929} \approx 258.234 \]
Шаг 25: Мы нашли длины обоих катетов: \( a \) приблизительно равна 207.766, а \( b \) приблизительно равна 258.234.
Шаг 26: Наконец, чтобы найти длину высоты \( h \), мы можем использовать найденную длину катета \( a \) и уравнение подобия треугольников:
\[ \frac{h}{a} = \frac{c}{b} \]
\[ \frac{h}{207.766} = \frac{298}{258.234} \]
Шаг 27: Рассчитаем правую часть уравнения:
\[ \frac{298}{258.234} \approx 1.154 \]
Шаг 28: Округлим полученное значение до двух десятичных знаков:
\[ h \approx 1.154 \cdot 207.766 \approx 239.858 \]
Шаг 29: Мы нашли длину высоты треугольника, которая приблизительно равна 239.858.
Итак, ответ на задачу:
Длина высоты этого прямоугольного треугольника составляет примерно 239.858 единиц, а длины катетов равны примерно 207.766 и 258.234 единиц соответственно.
Шаг 1: Предположим, что длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна \( c \), а длина катетов равна \( a \) и \( b \).
Шаг 2: По теореме Пифагора, сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. Формула для этого выглядит так:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
Шаг 3: В данной задаче гипотенуза делится на два отрезка, длины которых равны 9 и 289. Таким образом, длина гипотенузы \( c \) равна сумме длин этих отрезков:
\[ c = 9 + 289 = 298 \]
Шаг 4: Теперь мы можем подставить значение \( c \) в уравнение Пифагора:
\[ a^2 + b^2 = 298^2 \]
Шаг 5: В данной задаче нам нужно найти длину высоты треугольника. Высота образует прямой угол с одним из катетов, и она перпендикулярна к этому катету. Пусть высота треугольника равна \( h \), и она опущена на катет \( a \).
Шаг 6: Так как прямоугольный треугольник разбит на два подобных треугольника, мы можем применить подобие треугольников, чтобы найти длину высоты. В подобных треугольниках отношение длины высот к длине катета равно отношению длины гипотенузы к длине смежного катета.
\[ \frac{h}{a} = \frac{c}{b} \]
Шаг 7: Подставим значения \( c = 298 \) и \( b = 289 \) в уравнение:
\[ \frac{h}{a} = \frac{298}{289} \]
Шаг 8: Теперь мы имеем систему уравнений, состоящую из уравнения Пифагора и уравнения подобия треугольников:
\[ \begin{cases} a^2 + b^2 = 298^2 \\ \frac{h}{a} = \frac{298}{289} \end{cases} \]
Шаг 9: Решим систему уравнений. Возможно, самым удобным способом будет избавиться от выражения \( h \) во втором уравнении, а затем решить полученное уравнение относительно \( a \).
Шаг 10: Умножим обе части второго уравнения на \( a \), чтобы избавиться от дроби:
\[ h = \frac{298}{289} \cdot a \]
Шаг 11: Подставим это выражение в первое уравнение:
\[ a^2 + b^2 = 298^2 \]
\[ a^2 + \left(\frac{298}{289} \cdot a\right)^2 = 298^2 \]
Шаг 12: Раскроем скобку, выполнив квадрат во втором слагаемом:
\[ a^2 + \frac{298^2}{289^2} \cdot a^2 = 298^2 \]
Шаг 13: Соберем коэффициенты при \( a^2 \) вместе:
\[ \left(1 + \frac{298^2}{289^2}\right) a^2 = 298^2 \]
Шаг 14: После упрощения уравнения получаем:
\[ \left(\frac{289^2 + 298^2}{289^2}\right) a^2 = 298^2 \]
Шаг 15: Рассчитаем числитель дроби:
\[ \frac{289^2 + 298^2}{289^2} = \frac{83821 + 88804}{83921} = \frac{172625}{83921} \]
Шаг 16: Подставим это значение обратно в уравнение:
\[ \frac{172625}{83921} a^2 = 298^2 \]
Шаг 17: Теперь решим полученное уравнение относительно \( a^2 \):
\[ a^2 = \frac{83921}{172625} \cdot 298^2 \]
Шаг 18: Вычислим правую часть уравнения:
\[ a^2 = \frac{83921}{172625} \cdot 298^2 = \frac{83921}{172625} \cdot 88804 \approx 43251.942 \]
Шаг 19: Для нахождения \( a \) возьмем квадратный корень из полученного значения:
\[ a \approx \sqrt{43251.942} \approx 207.766 \]
Шаг 20: Итак, мы нашли длину катета \( a \), которая приблизительно равна 207.766.
Шаг 21: Чтобы найти длину второго катета \( b \), подставим значение \( a \) в уравнение Пифагора:
\[ a^2 + b^2 = 298^2 \]
\[ 207.766^2 + b^2 = 298^2 \]
Шаг 22: Рассчитаем правую часть уравнения:
\[ 207.766^2 = 43198.071 \]
Шаг 23: Разрешим уравнение относительно \( b^2 \):
\[ b^2 = 298^2 - 43198.071 \approx 66614.929 \]
Шаг 24: Вычислим квадратный корень из полученного значения:
\[ b \approx \sqrt{66614.929} \approx 258.234 \]
Шаг 25: Мы нашли длины обоих катетов: \( a \) приблизительно равна 207.766, а \( b \) приблизительно равна 258.234.
Шаг 26: Наконец, чтобы найти длину высоты \( h \), мы можем использовать найденную длину катета \( a \) и уравнение подобия треугольников:
\[ \frac{h}{a} = \frac{c}{b} \]
\[ \frac{h}{207.766} = \frac{298}{258.234} \]
Шаг 27: Рассчитаем правую часть уравнения:
\[ \frac{298}{258.234} \approx 1.154 \]
Шаг 28: Округлим полученное значение до двух десятичных знаков:
\[ h \approx 1.154 \cdot 207.766 \approx 239.858 \]
Шаг 29: Мы нашли длину высоты треугольника, которая приблизительно равна 239.858.
Итак, ответ на задачу:
Длина высоты этого прямоугольного треугольника составляет примерно 239.858 единиц, а длины катетов равны примерно 207.766 и 258.234 единиц соответственно.
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
