1) У нас имеются точки A (-3; 1,5; -2) и B (3; -2,5; 2), образующие диаметр сферы. а) Необходимо записать уравнение

Хорошо, давайте начнем с задачи номер один.

a) Чтобы записать уравнение сферы, необходимо знать ее радиус и координаты центра.
Первым шагом нужно найти координаты центра сферы. Для этого мы можем воспользоваться формулой для нахождения середины отрезка.

Формула для нахождения середины отрезка:
\[x_m = \frac{{x_1 + x_2}}{2}\]
\[y_m = \frac{{y_1 + y_2}}{2}\]
\[z_m = \frac{{z_1 + z_2}}{2}\]

Где \(x_1, y_1, z_1\) - координаты точки A, а \(x_2, y_2, z_2\) - координаты точки B.

Подставим значения координат в формулу и найдем центр сферы:
\[x_m = \frac{{-3 + 3}}{2} = 0\]
\[y_m = \frac{{1.5 + (-2.5)}}{2} = -0.5\]
\[z_m = \frac{{-2 + 2}}{2} = 0\]

Таким образом, координаты центра сферы равны (0, -0.5, 0).

Теперь, зная центр сферы и одну из точек на ней (например, точку A), можно найти радиус сферы. Радиус сферы равен половине длины диаметра.

Формула для нахождения радиуса:
\[r = \frac{{AB}}{2}\]
где AB - длина отрезка между точкой A и точкой B.

Вычислим длину отрезка AB:
\[AB = \sqrt{{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}}\]

Подставим значения координат точек A и B в формулу:
\[AB = \sqrt{{(3-(-3))^2 + (-2.5-1.5)^2 + (2-(-2))^2}} = \sqrt{{6^2 + (-4)^2 + 4^2}} = \sqrt{{36 + 16 + 16}} = \sqrt{{68}}\]

Таким образом, длина отрезка AB равна \(\sqrt{{68}}\), а значит, радиус сферы равен \(\frac{{\sqrt{{68}}}}{2} = \frac{{2\sqrt{{17}}}}{2} = \sqrt{{17}}\).

Теперь, зная координаты центра сферы и радиус, можем записать уравнение сферы в виде:

\((x - x_m)^2 + (y - y_m)^2 + (z - z_m)^2 = r^2\)

Подставим значения:
\((x - 0)^2 + (y - (-0.5))^2 + (z - 0)^2 = (\sqrt{{17}})^2\)

b) Чтобы определить, принадлежат ли точки с координатами (\(\sqrt{{7}}; -1.5; 3\)) и (3; 2.5; 1) этой сфере, нужно проверить, удовлетворяют ли эти точки уравнению сферы.

a) Подставим координаты первой точки в уравнение сферы:
\((\sqrt{{7}} - 0)^2 + (-1.5 - (-0.5))^2 + (3 - 0)^2 = (\sqrt{{17}})^2\)

Раскроем скобки и упростим:
\(7 + 1 + 9 = 17\)

Получили:
\(17 = 17\)

Таким образом, первая точка (\(\sqrt{{7}}; -1.5; 3\)) принадлежит сфере.

b) Теперь подставим координаты второй точки в уравнение сферы:
\((3 - 0)^2 + (2.5 - (-0.5))^2 + (1 - 0)^2 = (\sqrt{{17}})^2\)

Раскроем скобки и упростим:
\(9 + 9 + 1 = 17\)

Получили:
\(19 = 17\)

Таким образом, вторая точка (3; 2.5; 1) не принадлежит сфере.

Перейдем ко второй задаче.

Для начала построим рисунок для наглядности:

C
/|\
/ | \
/ | \
A--|---B

На рисунке, AB - сторона треугольника, угол между сторонами AB и AC равен 60°, а сфера с радиусом 5 см находится внутри треугольника.

Теперь нужно найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника. Для этого рассмотрим высоту треугольника, проведенную из вершины C к плоскости треугольника.

Высота треугольника:
\(h = AB \cdot \sin 60° = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Подставим значение длины стороны AB в формулу:
\(h = 3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3} \cdot 3}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}\)

Таким образом, высота треугольника равна \(\frac{9\sqrt{3}}{2}\).

Осталось найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника. Мы знаем, что высота треугольника - это расстояние от вершины до плоскости, а радиус сферы - это расстояние от центра до вершины.

Так как центр сферы и вершина треугольника соединены радиусом, их расстояние равно радиусу сферы: 5 см.

Следовательно, расстояние от центра сферы до плоскости треугольника также равно 5 см.

Вот и все! Если у вас возникли еще какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я готов помочь вам в любых учебных вопросах.