Какова длина стороны равностороннего треугольника, если его высота составляет...?

Конечно! Чтобы найти длину стороны равностороннего треугольника, зная его высоту \( h \), мы можем воспользоваться свойством такого треугольника, что высота, проведенная к любой его стороне, является биссектрисой и медианой.

Давайте вначале рассмотрим сторону треугольника, к которой проведена высота. Обозначим ее буквой \( a \). Теперь нам нужно найти длину этой стороны.

Зная, что высота делит треугольник на два прямоугольных треугольника, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы выразить \( a \) через \( h \). Так как треугольник равносторонний, то каждый из прямоугольных треугольников будет прямоугольным треугольником со сторонами \( \frac{a}{2} \), \( h \) и \( a \).

Применим теорему Пифагора для одного из прямоугольных треугольников:

\[
\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2 = a^2
\]

Раскроем скобки:

\[
\frac{a^2}{4} + h^2 = a^2
\]

Перенесем все слагаемые с \( a^2 \) на одну сторону:

\[
h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}
\]

Теперь найдем \( a \) при помощи извлечения квадратного корня:

\[
\sqrt{h^2} = \sqrt{\frac{3a^2}{4}}
\]

\[
h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a
\]

Теперь мы можем найти \( a \), выражая его через \( h \):

\[
a = \frac{2h}{\sqrt{3}}
\]

Таким образом, длина стороны равностороннего треугольника, если его высота составляет \( h \), равна \( \frac{2h}{\sqrt{3}} \).