Какова длина стороны основания правильной треугольной пирамиды, если ее полная поверхность равна 27 корней из 3 и угол

Для решения этой задачи нам потребуется применить несколько формул и свойств правильных треугольников и пирамид. Давайте начнем.

Пусть сторона основания правильной треугольной пирамиды равна \(a\). Так как пирамида правильная, то все ее боковые грани равнобедренные треугольники, в которых основание равно \(a\) и угол между основанием и боковой гранью составляет 60 градусов.

Длина боковых ребер пирамиды может быть найдена с помощью формулы косинусов. Обозначим длину бокового ребра через \(b\). Тогда по формуле косинусов:

\[b^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(60^\circ)\]

Угол 60 градусов можно записать в радианах, используя соотношение \(\angle = \frac{{\pi}}{{3}}\). Подставляя значения в формулу, получаем:

\[b^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot \cos\left(\frac{{\pi}}{{3}}\right)\]

Раскрывая косинус и упрощая выражение, получаем:

\[b^2 = 2a^2 - a^2 = a^2\]

Теперь можем найти длину бокового ребра \(b\), извлекая корень из обеих частей уравнения:

\[b = \sqrt{a^2} = a\]

Мы видим, что длина бокового ребра равна длине стороны основания \(a\).

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды. По свойствам правильных треугольников, высота правильной треугольной пирамиды равна \(\frac{{\sqrt{3} \cdot a}}{2}\).

Полная поверхность пирамиды состоит из боковых граней и основания. Учитывая, что у пирамиды четыре боковые грани, получаем следующее равенство:

\[4 \cdot \frac{{\sqrt{3} \cdot a}}{2} + a^2 = 27 \cdot \sqrt{3}\]

Упрощая выражение и решая его относительно \(a\), получаем:

\[2 \cdot \sqrt{3} \cdot a + a^2 = 27 \cdot \sqrt{3}\]

Для того чтобы найти длину стороны основания \(a\), изначально возведем это уравнение в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[(2 \cdot \sqrt{3} \cdot a + a^2)^2 = (27 \cdot \sqrt{3})^2\]

Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые, имеем:

\[4 \cdot 3 \cdot a^2 + 4 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} \cdot a^2 + a^4 = 27^2 \cdot 3\]

Далее упрощаем выражение:

\[12a^2 + 8 \sqrt{3} a^2 + a^4 = 729\]

Мы получили квадратное уравнение относительно \(a^2\), решим его:

\[a^4 + 20 \sqrt{3} a^2 + 729 - 729 = 0\]

\[a^4 + 20 \sqrt{3} a^2 = 0\]

\[a^2 (a^2 + 20 \sqrt{3}) = 0\]

Так как длина стороны не может быть отрицательной, то единственный действительный корень уравнения будет равен нулю:

\[a^2 = 0\]

Отсюда следует, что \(a = 0\). Но такой ответ нереалистичен, поскольку сторона основания не может быть нулевой.

Таким образом, данная задача не имеет решения в действительных числах. Возможно, была допущена ошибка при записи условия или использовании формул. Рекомендуется проверить условие задачи и внимательно проверить все вычисления. Если вы уверены, что условие задачи верное, то можно предположить, что задача требует использования комплексных чисел для нахождения длины стороны основания, что выходит за рамки учебной программы школьника.