Какова длина средней линии трапеции, если ее боковые стороны равны 1,6 дм и 2,4 дм, а периметр трапеции равен

Для начала, давайте вспомним свойства трапеции. Трапеция - это четырехугольник с двумя параллельными сторонами. Одна из сумму длин боковых сторон называется периметром трапеции.

В нашем случае, известно, что периметр трапеции равен 96 см. Давайте обозначим длины боковых сторон как \(a\) и \(b\). По условию задачи, \(a = 1,6\) дм и \(b = 2,4\) дм. Мы можем перевести дециметры в сантиметры, учитывая, что 1 дециметр равен 10 сантиметрам.

Таким образом, \(a = 1,6 \cdot 10 = 16\) см и \(b = 2,4 \cdot 10 = 24\) см.

Поскольку трапеция имеет боковые стороны длиной 16 см и 24 см, нам нужно найти длину средней линии. Давайте обозначим ее как \(m\).

Мы знаем, что средняя линия трапеции является средним геометрическим двух баз. Базы трапеции - это параллельные стороны. Используя данную информацию, мы можем записать следующее уравнение:

\[m = \sqrt{a \cdot b}\]

Подставив значения \(a = 16\) см и \(b = 24\) см, мы можем найти длину средней линии:

\[m = \sqrt{16 \cdot 24} = \sqrt{384}\]

Чтобы упростить это выражение, давайте разложим 384 на простые множители. Мы видим, что 384 делится на 2:

\[384 = 2 \cdot 192\]

Далее, разделим 192 на 2:

\[192 = 2 \cdot 96\]

И снова разделим 96 на 2:

\[96 = 2 \cdot 48\]

Продолжая этот процесс, мы разделим 48 на 2:

\[48 = 2 \cdot 24\]

Затем разделим 24 на 2:

\[24 = 2 \cdot 12\]

И, наконец, разделим 12 на 2:

\[12 = 2 \cdot 6\]

Теперь у нас есть следующее выражение:

\[m = \sqrt{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6}\]

Мы можем объединить два множителя 2 в один множитель 4:

\[m = \sqrt{4 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6}\]

Далее, перемножим два множителя 4:

\[m = \sqrt{16 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6}\]

Выполнив умножение, получаем:

\[m = \sqrt{192}\]

Чтобы найти значение выражения \(\sqrt{192}\), мы можем разложить 192 на простые множители:

\[192 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3\]

Теперь выражение превращается в:

\[m = \sqrt{2^5 \cdot 3}\]

Используя свойство корня, мы можем записать:

\[m = \sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2 \cdot 3}\]

Снова объединим два множителя \(2^2\) в один множитель \(2^4\):

\[m = \sqrt{2^4 \cdot 2 \cdot 3}\]

Затем перемножим два множителя \(2^4\):

\[m = \sqrt{16 \cdot 2 \cdot 3}\]

Упростим это выражение:

\[m = \sqrt{96}\]

Чтобы найти значение выражения \(\sqrt{96}\), мы можем разложить 96 на простые множители:

\[96 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3\]

Теперь выражение превращается в:

\[m = \sqrt{2^5 \cdot 3}\]

Используя свойство корня, мы можем записать:

\[m = \sqrt{2^2 \cdot 2^2 \cdot 2 \cdot 3}\]

Снова объединим множители \(2^2\) в один множитель \(2^4\):

\[m = \sqrt{2^4 \cdot 2 \cdot 3}\]

Затем перемножим множители \(2^4\):

\[m = \sqrt{16 \cdot 2 \cdot 3}\]

Упростим это выражение:

\[m = \sqrt{96}\]

Таким образом, мы получили, что длина средней линии трапеции равна \(\sqrt{96}\) см.

Чтобы упростить это значение, мы можем выразить \(\sqrt{96}\) в виде произведения двух множителей, один из которых является квадратным корнем:

\[\sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6}\]

Теперь мы можем взять квадратный корень каждого множителя отдельно:

\[\sqrt{96} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{6} = 4 \cdot \sqrt{6}\]

Итак, ответом на задачу является \(4 \cdot \sqrt{6}\) см, что примерно равно 9,798 см, округленно до трех десятичных знаков.