Какова длина отрезка BC в треугольнике ABC, где угол A равен 90 градусов, косинус угла B равен 3/4 и длина отрезка

Для решения данной задачи мы можем использовать треугольник ABC и формулы тригонометрии. Нам дано, что угол A равен 90 градусов, а косинус угла B равен 3/4. Также мы знаем, что длина отрезка AB равна \(c\).

Для начала, давайте определим, каким соотношением связан косинус угла исследуемый в задаче, с длинами сторон треугольника.

Косинус угла B в прямоугольном треугольнике можно выразить следующим образом:

\[\cos(B) = \frac{{AB}}{{BC}}\]

Зная, что косинус угла B равен 3/4, мы можем записать:

\[\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{3}{4}\]

Таким образом, мы получаем соотношение между длинами сторон треугольника.

Далее, мы знаем, что угол A равен 90 градусов, поэтому треугольник ABC является прямоугольным. С использованием теоремы Пифагора, можем записать:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]

Так как длина отрезка AB равна \(c\), будем записывать \(c\) вместо AB:

\[AC^2 = c^2 + BC^2\]

Применим это соотношение к нашей задаче:

\[AC^2 = c^2 + BC^2\]

Однако у нас не все значения известны, поэтому мы должны воспользоваться другим соотношением между длинами сторон, чтобы решить эту проблему.

Используем соотношение, связывающее синус и косинус:

\[\sin(B) = \sqrt{1 - \cos^2(B)}\]

Так как в прямоугольном треугольнике сумма синусов и косинусов равна 1, мы можем записать:

\[\sin(B) = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{16}{16} - \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}}\]

Учитывая это, мы можем записать:

\[\sin(B) = \frac{\sqrt{7}}{4}\]

Теперь мы можем использовать соотношение между синусом и противолежащей стороной в прямоугольном треугольнике:

\[\sin(B) = \frac{BC}{AC}\]

Подставляя известные значения, мы получим:

\[\frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{BC}{c}\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно длины отрезка BC:

\[BC = c \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}\]

Таким образом, мы определили, что длина отрезка BC равна \(BC = c \cdot \frac{\sqrt{7}}{4}\).

Это подробное решение должно быть понятно школьнику и объяснить все шаги, используемые для нахождения ответа.