Какова длина окружности полученного сечения плоскостью, проходящей через точку на сфере радиусом 4√2 см, под углом

Чтобы решить данную задачу, мы можем использовать геометрию и тригонометрию. Давайте разберемся пошагово.

Шаг 1: Посмотрим на ситуацию. У нас есть сфера с радиусом \(4\sqrt{2}\) см и плоскость, которая проходит через точку на сфере и образует угол 45 градусов с радиусом сферы.

Шаг 2: Сперва найдем радиус сечения нашей плоскостью. Поскольку плоскость проходит через точку на сфере, то линия, соединяющая центр сферы с этой точкой, будет радиусом сечения. Поскольку центр сферы находится в середине, радиус сечения будет половиной радиуса сферы. Таким образом, радиус сечения равен \(2\sqrt{2}\) см.

Шаг 3: Теперь найдем длину окружности полученного сечения. Длина окружности равна произведению длины дуги на количество дуг в окружности. Длина дуги можно найти, зная ее радиус и угол, опирающийся на эту дугу.

Шаг 4: Для нахождения длины дуги мы используем формулу \(L = r \cdot \theta\), где \(L\) - длина дуги, \(r\) - радиус дуги, а \(\theta\) - угол в радианах.

Шаг 5: В данной задаче, у нас есть радиус сечения \(2\sqrt{2}\) см и угол в 45 градусов. Чтобы использовать формулу, необходимо перевести угол из градусов в радианы. Мы знаем, что \(1\) радиан равен \(180\) градусам. Поэтому, \(\theta = \frac{\pi}{4}\) радиан.

Шаг 6: Подставим значения в формулу. \(L = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{4}\).

Шаг 7: Упростим выражение, получим \(L = \frac{\sqrt{2}\pi}{2}\).

Шаг 8: Данное выражение является точным значением длины окружности полученного сечения плоскостью.

Таким образом, длина окружности полученного сечения плоскостью, проходящей через точку на сфере радиусом \(4\sqrt{2}\) см, под углом 45 градусов к радиусу сферы, равна \(\frac{\sqrt{2}\pi}{2}\) см.