Какова длина одной из сторон этого вписанного правильного треугольника, если его вписанная окружность имеет радиус

Давайте воспользуемся некоторыми свойствами вписанных треугольников и окружностей, чтобы решить эту задачу.

У нас есть вписанный правильный треугольник, то есть каждый его угол равен 60 градусам. Мы также знаем радиус вписанной окружности, который равен \(13\sqrt{3}/4\).

Во-первых, давайте найдем длину стороны треугольника по радиусу окружности. В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом окружности, половиной стороны треугольника и высотой, которую опускает радиус на сторону треугольника, применяем теорему Пифагора:
\[\left(\frac{s}{2}\right)^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = r^2\]
где \(s\) - длина стороны треугольника, \(h\) - высота, опущенная радиусом на сторону, и \(r\) - радиус окружности.

Подставим известные значения в эту формулу:
\[\left(\frac{s}{2}\right)^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = \left(\frac{13\sqrt{3}}{4}\right)^2\]

Умножим обе части на 4 для избавления от дробей:
\[s^2 + \frac{h^2}{4} = \left(\frac{13\sqrt{3}}{4}\right)^2 \cdot 4\]
\[s^2 + \frac{h^2}{4} = \frac{3 \cdot 13^2}{4}\]
\[s^2 = \frac{3 \cdot 13^2}{4} - \frac{h^2}{4}\]
\[s^2 = \frac{3 \cdot 13^2 - h^2}{4}\]

Дальше нам не хватает информации о высоте треугольника, чтобы найти \(s\) напрямую. Однако, зная, что треугольник правильный, можно использовать свойства правильных треугольников.

У правильного треугольника, высота, опущенная из вершины на сторону, делит эту сторону на две равные части. Значит, \(h = \frac{s}{2}\).

Подставим это обновленное значение \(h\) в предыдущее уравнение:
\[s^2 = \frac{3 \cdot 13^2 - \left(\frac{s}{2}\right)^2}{4}\]

Раскроем скобку:
\[s^2 = \frac{3 \cdot 13^2 - \frac{s^2}{4}}{4}\]

Умножим обе части на 4 для избавления от дробей:
\[4s^2 = 3 \cdot 13^2 - \frac{s^2}{4}\]
\[16s^2 = 48 \cdot 13^2 - s^2\]
\[16s^2 + s^2 = 48 \cdot 13^2\]
\[17s^2 = 48 \cdot 13^2\]

Разделим обе части на 17 для выражения \(s^2\):
\[s^2 = \frac{48 \cdot 13^2}{17}\]
\[s^2 = \frac{48 \cdot 169}{17}\]
\[s^2 = \frac{4 \cdot 3 \cdot 13^2 \cdot 13}{17}\]
\[s^2 = 4 \cdot 3 \cdot 13\]

Вычислим:
\[s^2 = 156\]

Чтобы найти длину одной из сторон треугольника (\(s\)), возьмем квадратный корень из \(156\):
\[s = \sqrt{156}\]

Округлим это значение до ближайшего целого числа:
\[s \approx 12.49\]

Таким образом, длина одной из сторон вписанного правильного треугольника составляет примерно 12.49 единицы длины.