Какова длина меньшей диагонали ромба, если угол ромба равен 120 градусам, а периметр равен 84 см? Людям задается

Длина меньшей диагонали ромба может быть найдена с помощью формулы, учитывающей его угол и периметр. Для начала, мы знаем, что ромб имеет две диагонали, большую и меньшую. В данной задаче нас интересует длина меньшей диагонали.

Давайте обозначим длину меньшей диагонали ромба как \(d\). Мы также знаем, что угол ромба равен 120 градусам, поэтому угол между диагоналями будет равен 60 градусам. Этот угол является центральным углом для диагоналей ромба.

Когда рассматриваем центральный угол, длина диагонали ромба связана с его периметром следующим образом:

\[P = 4s,\]

где \(P\) - периметр, а \(s\) - сторона ромба.

В нашем случае периметр равен 84 см, поэтому:

\[84 = 4s.\]

Делим обе части уравнения на 4, чтобы найти длину каждой стороны:

\[s = \frac{84}{4} = 21.\]

Таким образом, каждая сторона ромба равна 21 см.

Теперь, чтобы найти длину меньшей диагонали, нам понадобится знание формулы синуса для треугольника:

\[\sin(\theta) = \frac{{AB}}{{AC}},\]

где \(\theta\) - угол между стороной ромба и меньшей диагональю, \(AB\) - длина стороны ромба, а \(AC\) - длина меньшей диагонали.

Мы знаем, что угол между стороной и диагональю равен 60 градусам, а длина стороны - 21 см. Подставляя значения в формулу синуса, получаем:

\[\sin(60) = \frac{{21}}{{AC}}.\]

Вычислим значение синуса 60 градусов:

\[\sin(60) \approx 0.866.\]

Теперь, чтобы найти длину меньшей диагонали, разделим длину стороны на синус угла 60 градусов:

\[AC = \frac{{21}}{{0.866}} \approx 24.26.\]

Таким образом, длина меньшей диагонали ромба составляет примерно 24.26 см, округленное до второго знака после запятой.