Какова площадь полученного круглого сечения шара, разделенного секущей плоскостью, если объемы двух полученных частей

Для решения этой задачи нам понадобится некоторое знание о формулах и свойствах сферы.

Пусть радиус сферы равен \(r\). Когда секущая плоскость проходит через центр сферы, она создает два равных круглых сечения. Обозначим их площади как \(S_1\) и \(S_2\).

Объем сферы может быть вычислен с использованием формулы:

\[V_{\text{сфера}} = \frac{4}{3}\pi r^3\]

Теперь, когда у нас есть объемы двух полученных частей (12 и 24 кубических дециметра), мы можем записать уравнения:

\[V_1 = S_1 \cdot \frac{2r}{3}\]
\[V_2 = S_2 \cdot \frac{2r}{3}\]

В нашем случае \(V_1 = 12\) и \(V_2 = 24\).

Мы также знаем, что сумма площадей двух круглых сечений равна площади поверхности сферы:

\[S_1 + S_2 = 4\pi r^2\]

Теперь нам нужно решить эту систему уравнений для \(S_1\) и \(S_2\). Давайте продолжим.

\[V_1 = S_1 \cdot \frac{2r}{3}\]
\[V_2 = S_2 \cdot \frac{2r}{3}\]

\[12 = S_1 \cdot \frac{2r}{3}\]
\[24 = S_2 \cdot \frac{2r}{3}\]

Теперь найдем \(S_1\) и \(S_2\) из этих уравнений. Для этого давайте избавимся от коэффициента \(\frac{2r}{3}\), разделив каждое уравнение на \(\frac{2r}{3}\):

\[\frac{9}{2r} \cdot 12 = S_1\]
\[\frac{9}{2r} \cdot 24 = S_2\]

Упрощаем:

\[S_1 = \frac{54}{r}\]
\[S_2 = \frac{108}{r}\]

Теперь подставим эти выражения в уравнение площадей круглых сечений:

\[\frac{54}{r} + \frac{108}{r} = 4\pi r^2\]

Умножим обе части уравнения на \(r\) чтобы избавиться от знаменателя:

\[54 + 108 = 4\pi r^3\]

Складываем числа:

\[162 = 4\pi r^2\]

Делим обе части на \(4\pi\):

\[\frac{162}{4\pi} = r^2\]

Найдем \(r\):

\[\sqrt{\frac{162}{4\pi}} = r\]

После вычислений получаем значение радиуса \(r \approx 2,56\) (округленно).

Теперь, когда у нас есть радиус сферы, мы можем найти площадь круглого сечения \(S_1\), подставив значение радиуса в уравнение:

\[S_1 = \frac{54}{2,56} \approx 21,09\]

Ответ: площадь полученного круглого сечения шара составляет примерно 21,09 квадратных сантиметров.