Какова длина меньшей диагонали ромба, если один из его острых углов равен 60°, а периметр равен 31,2

Для решения данной задачи нам понадобится знание свойств ромба и тригонометрии.

1. Свойства ромба:
Ромб - это четырехугольник, все стороны которого равны между собой. Сумма значений всех углов ромба равна 360°. В данной задаче острый угол ромба равен 60°, что означает, что остальные углы тоже равны 60°.

2. Периметр ромба:
Периметр ромба равен сумме длин всех его сторон. Пусть длина каждой стороны ромба равна \( a \). Тогда периметр ромба \( P \) выражается следующей формулой: \( P = 4a \).

Теперь перейдем к решению задачи:

1. Найдем длину одной стороны ромба:
Поскольку периметр ромба равен 31,2, то \( 4a = 31,2 \). Разделим обе части уравнения на 4, чтобы найти длину одной стороны ромба: \( a = \frac{31,2}{4} = 7,8 \).

2. Найдем длину большей диагонали ромба:
Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольника, образованного одной стороной ромба и двумя полудиагоналями. Обозначим длину большей диагонали ромба как \( d \).

Из свойств ромба известно, что каждый угол составляет 60°. Следовательно, в треугольнике, образованном одной стороной ромба и двумя полудиагоналями, угол между стороной и полудиагональю равен 30°.

Теперь воспользуемся теоремой косинусов:
\[ d^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos{30^\circ} \]

Раскроем косинус 30°:
\[ d^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot \cos{30^\circ} \]

Подставим значение длины стороны ромба \( a = 7,8 \):
\[ d^2 = 2 \cdot 7,8^2 - 2 \cdot 7,8^2 \cdot \cos{30^\circ} \]

Выполним расчеты:
\[ d^2 = 2 \cdot 60,84 - 2 \cdot 60,84 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ d^2 = 121,68 - 60,84 \cdot \sqrt{3} \]
\[ d^2 = 121,68 - 60,84 \cdot 1,732 \]
\[ d^2 = 121,68 - 105,56 \]
\[ d^2 = 16,12 \]

Итак, мы получили, что \( d^2 = 16,12 \). Чтобы найти длину большей диагонали ромба \( d \), извлечем квадратный корень из обеих частей равенства:
\[ d = \sqrt{16,12} \approx 4,01 \]

Таким образом, длина большей диагонали ромба составляет примерно 4,01.