Какова длина меньшей диагонали ромба, если один из его острых углов равен 60°, а периметр равен 31,2

Для решения данной задачи нам понадобится знание свойств ромба и тригонометрии.

1. Свойства ромба:
Ромб - это четырехугольник, все стороны которого равны между собой. Сумма значений всех углов ромба равна 360°. В данной задаче острый угол ромба равен 60°, что означает, что остальные углы тоже равны 60°.

2. Периметр ромба:
Периметр ромба равен сумме длин всех его сторон. Пусть длина каждой стороны ромба равна $a$. Тогда периметр ромба $P$ выражается следующей формулой: $P=4a$.

Теперь перейдем к решению задачи:

1. Найдем длину одной стороны ромба:
Поскольку периметр ромба равен 31,2, то $4a=31,2$. Разделим обе части уравнения на 4, чтобы найти длину одной стороны ромба: $a=\frac{31,2}{4}=7,8$.

2. Найдем длину большей диагонали ромба:
Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольника, образованного одной стороной ромба и двумя полудиагоналями. Обозначим длину большей диагонали ромба как $d$.

Из свойств ромба известно, что каждый угол составляет 60°. Следовательно, в треугольнике, образованном одной стороной ромба и двумя полудиагоналями, угол между стороной и полудиагональю равен 30°.

Теперь воспользуемся теоремой косинусов:
$$d^2=a^2+a^2-2\cdot a\cdot a\cdot \cos {30}^{\circ }$$

Раскроем косинус 30°:
$$d^2=2a^2-2a^2\cdot \cos {30}^{\circ }$$

Подставим значение длины стороны ромба $a=7,8$:
$$d^2=2\cdot 7,8^2-2\cdot 7,8^2\cdot \cos {30}^{\circ }$$

Выполним расчеты:
$$d^2=2\cdot 60,84-2\cdot 60,84\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$d^2=121,68-60,84\cdot \sqrt{3}$$
$$d^2=121,68-60,84\cdot 1,732$$
$$d^2=121,68-105,56$$
$$d^2=16,12$$

Итак, мы получили, что $d^2=16,12$. Чтобы найти длину большей диагонали ромба $d$, извлечем квадратный корень из обеих частей равенства:
$$d=\sqrt{16,12}\approx 4,01$$

Таким образом, длина большей диагонали ромба составляет примерно 4,01.