Какова длина высоты боковой грани прямоугольной пирамиды с катетами равными 6 дм и 8 дм, при условии, что каждая

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора и принципом синусов.

Сначала нам нужно найти длину гипотенузы боковой грани пирамиды, используя катеты 6 дм и 8 дм. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Таким образом, мы можем записать это уравнение следующим образом:

\[h^2 = 6^2 + 8^2\]

\[h^2 = 36 + 64\]

\[h^2 = 100\]

\[h = \sqrt{100}\]

\[h = 10\]

Таким образом, длина гипотенузы боковой грани равна 10 дм.

Затем, мы можем использовать принцип синусов, чтобы найти длину высоты. В этом случае, мы знаем значение угла между боковой гранью и плоскостью основания (60 градусов) и значение гипотенузы (10 дм). Принцип синусов гласит:

\[\frac{\text{длина гипотенузы}}{\text{длина высоты}} = \frac{\sin(\text{значение угла})}{\sin(90^\circ)}\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[\frac{10}{\text{длина высоты}} = \frac{\sin(60^\circ)}{\sin(90^\circ)}\]

Так как \(\sin(90^\circ) = 1\), уравнение упрощается:

\[\frac{10}{\text{длина высоты}} = \sin(60^\circ)\]

Угол 60 градусов соответствует \(\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставляя это значение, мы можем решить уравнение:

\[\frac{10}{\text{длина высоты}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Помножим обе стороны на \(\text{длина высоты}\):

\[10 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \text{длина высоты}\]

Теперь разделим обе стороны на \(\frac{\sqrt{3}}{2}\):

\[\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \text{длина высоты}\]

Упростим:

\[\frac{10 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \text{длина высоты}\]

\[\frac{20}{\sqrt{3}} = \text{длина высоты}\]

Рационализируем знаменатель, умножив и деля на \(\sqrt{3}\):

\[\frac{20 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \text{длина высоты}\]

\[\frac{20 \cdot \sqrt{3}}{3} = \text{длина высоты}\]

Таким образом, длина высоты боковой грани прямоугольной пирамиды равна \(\frac{20 \cdot \sqrt{3}}{3}\) дм.