Найти расстояние от точки М до плоскости

Хорошо! Для нахождения расстояния от точки \( M \) до плоскости мы можем использовать формулу, которая основана на понятии векторного проектирования. Давайте разберемся.

Пусть у нас есть точка \( M(x_0, y_0, z_0) \), заданная своими координатами, и плоскость, заданная уравнением \( Ax + By + Cz + D = 0 \). Для удобства обозначения, давайте представим плоскость в виде векторного уравнения, где ее нормальный вектор \( \vec{n} = (A, B, C) \) и произвольный вектор, проведенный от начала координат к точке \( M \), обозначим \( \vec{v} = (x_0, y_0, z_0) \).

Теперь мы можем найти векторное проектирование вектора \( \vec{v} \) на нормальный вектор \( \vec{n} \). Обозначим его \( \vec{proj} \). Векторное проектирование вычисляется следующим образом:

\[ \vec{proj} = \frac{{\vec{v} \cdot \vec{n}}}{{||\vec{n}||^2}} \cdot \vec{n} \]

Здесь символ \( \cdot \) обозначает скалярное произведение векторов, а \( ||\vec{n}|| \) обозначает длину вектора \( \vec{n} \).

После вычисления вектора проекции, мы можем найти вектор разности между вектором \( \vec{v} \) и вектором проекции \( \vec{proj} \). Обозначим его \( \vec{d} \). Этот вектор будет перпендикулярен плоскости.

Теперь мы можем найти расстояние от точки \( M \) до плоскости, которое будет равно длине вектора \( \vec{d} \). Формула для вычисления длины вектора задается следующим образом:

\[ ||\vec{d}|| = \sqrt{{\vec{d} \cdot \vec{d}}} \]

Следуя этим шагам, мы можем найти расстояние от точки \( M \) до плоскости.