Какова длина меньшего катета прямоугольного треугольника, если его площадь равна 5,5 и один из катетов больше другого

Для решения данной задачи, давайте воспользуемся формулой для площади прямоугольного треугольника:

\[S = \frac{{ab}}{2}\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) и \(b\) - длины катетов.

По условию задачи, площадь треугольника равна 5,5, поэтому можем записать:

\[5.5 = \frac{{ab}}{2} \quad (1)\]

Также, известно, что один катет больше другого на \(\frac{{2}{3}}\), поэтому можно записать:

\(a = b + \frac{2}{3} \quad (2)\)

Теперь у нас есть два уравнения (1) и (2), и мы можем найти значения катетов \(a\) и \(b\).

Для начала, избавимся от деления в уравнении (1), умножив его на 2:

\[11 = ab \quad (3)\]

Теперь воспользуемся уравнением (2), чтобы выразить \(a\) через \(b\):

\[a = b + \frac{2}{3} \quad (4)\]

Теперь подставим это выражение для \(a\) в уравнение (3):

\[11 = (b + \frac{2}{3}) b \quad (5)\]

Раскроем скобки:

\[11 = b^2 + \frac{2}{3}b \quad (6)\]

Теперь приведем уравнение (6) к квадратному виду:

\[3b^2 + 2b - 33 = 0 \quad (7)\]

Мы получили квадратное уравнение, которое можно решить с помощью квадратного трехчлена или формулы дискриминанта.

Решим уравнение (7) с помощью формулы дискриминанта:

\[b = \frac{{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-33)}}}{{2 \cdot 3}}\]

Выполним вычисления:

\[b = \frac{{-2 \pm \sqrt{4 + 396}}}{{6}}\]

\[b = \frac{{-2 \pm \sqrt{400}}}{{6}}\]

\[b = \frac{{-2 \pm 20}}{{6}}\]

Таким образом, получаем два значения для \(b\):

\[b_1 = \frac{{-2 + 20}}{{6}} = 3.0\]
\[b_2 = \frac{{-2 - 20}}{{6}} = -3.6667\]

Так как длина не может быть отрицательной, мы отбрасываем значение \(b_2\).

Теперь, найдем соответствующее значение \(a\) с использованием уравнения (4):

\[a = b + \frac{2}{3} = 3.0 + \frac{2}{3} = 3.6667\]

Таким образом, длины катетов прямоугольного треугольника равны \(a = 3.6667\) и \(b = 3.0\).