1) Как выразить вектор А1С через векторы АВ, AD и AA1 в данном кубе? 2) Как выразить вектор ВD1 через векторы АВ

Хорошо, давайте рассмотрим каждое задание по очереди.

1) Чтобы выразить вектор \(\vec{A_1C}\) через векторы \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) и \(\vec{AA_1\), нам понадобится использовать свойство векторного сложения. Для начала вспомним, что вектор \(\vec{A_1C}\) может быть представлен как сумма векторов \(\vec{A_1B}\) и \(\vec{BC}\). Теперь давайте выразим эти векторы через уже известные нам векторы.

Вектор \(\vec{A_1B}\) может быть представлен как разность векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AA_1}\). Поэтому \(\vec{A_1B} = \vec{AB} - \vec{AA_1}\).

Вектор \(\vec{BC}\) равен \(\vec{AD}\), так как \(\vec{BC}\) и \(\vec{AD}\) - это противоположные ребра куба.

Таким образом, мы можем написать:

\[
\vec{A_1C} = \vec{A_1B} + \vec{BC} = \vec{AB} - \vec{AA_1} + \vec{AD}
\]

2) Теперь рассмотрим вторую задачу. Чтобы выразить вектор \(\vec{BD_1}\) через векторы \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) и \(\vec{AA_1}\) в данном кубе, нужно использовать аналогичное свойство векторного сложения.

Вектор \(\vec{BD_1}\) можно представить как сумму векторов \(\vec{BC}\) и \(\vec{CD_1}\).

Мы уже знаем, что \(\vec{BC} = \vec{AD}\), так как они являются противоположными ребрами куба.

Теперь рассмотрим вектор \(\vec{CD_1}\). Он равен разности векторов \(\vec{CD}\) и \(\vec{DD_1}\). То есть \(\vec{CD_1} = \vec{CD} - \vec{DD_1}\).

Итак, мы получаем:

\[
\vec{BD_1} = \vec{BC} + \vec{CD_1} = \vec{AD} + (\vec{CD} - \vec{DD_1}) = \vec{AD} + \vec{CD} - \vec{DD_1}
\]

Таким образом, выражение для вектора \(\vec{BD_1}\) через векторы \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) и \(\vec{AA_1}\) равно \(\vec{AD} + \vec{CD} - \vec{DD_1}\).