Какова длина линии пересечения сферы с плоскостью, которая проходит через конец диаметра шара под углом 45° к нему?

Конечно, я могу помочь с этой задачей. Давайте начнем с построения ситуации. Представьте, что у нас есть сфера с центром в точке $O$ и диаметром $AB$. Допустим, мы берем точку $A$ как начало координат (0,0,0) и точку $B$ находится на оси $z$ и имеет координаты (0,0,r), где $r$ - радиус сферы.

Теперь давайте построим плоскость, которая проходит через конец диаметра $B$ под углом 45° к нему. Первым шагом найдем вектор нормали к плоскости. Мы можем использовать вектор $\overrightarrow{BC}$ для этого, где $C$ - точка пересечения линии пересечения сферы и плоскости с плоскостью $xOy$, если мы продолжим плоскость до пересечения с $xOy$.

Поскольку векторы $\overrightarrow{BA}$ и $\overrightarrow{BC}$ лежат на сфере, их длины равны радиусу сферы $r$. Таким образом, координаты точки $C$ будут (r, 0, z), где $z$ - неизвестная величина.

Теперь мы можем найти вектор $\overrightarrow{BC}$ путем вычитания вектора $\overrightarrow{BA}$ из вектора $\overrightarrow{CA}$:

$$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{BA}=(r,0,z)-(0,0,r)=(r,0,z-r)$$

Длина вектора $\overrightarrow{BC}$ равна:

$$|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{(r-0{)}^2+(0-0{)}^2+(z-r{)}^2}=\sqrt{r^2+(z-r{)}^2}$$

Таким образом, длина линии пересечения сферы с плоскостью будет равна $|\overrightarrow{BC}|$. В нашем случае:

$$|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{r^2+(z-r{)}^2}$$

Теперь давайте проанализируем это уравнение. Поскольку $z$ - это пространственная координата, она может быть любым значением в диапазоне от 0 до $2r$ для нашей задачи, так как $C$ находится на сфере. Следовательно, линия пересечения может быть любой длины в этом диапазоне.

Чтобы это визуализировать, я предоставлю вам 3D-диаграмму, которая покажет сферу, плоскость и линию пересечения. Диаграмма будет иметь вид:

---

$$Diagramvisualization$$

---

Таким образом, длина линии пересечения сферы с плоскостью будет равняться $\sqrt{r^2+(z-r{)}^2}$, где $z$ может быть любым значением в диапазоне от 0 до $2r$.