Какова длина линии пересечения сферы с плоскостью, которая проходит через конец диаметра шара под углом 45° к нему?

Конечно, я могу помочь с этой задачей. Давайте начнем с построения ситуации. Представьте, что у нас есть сфера с центром в точке \( O \) и диаметром \( AB \). Допустим, мы берем точку \( A \) как начало координат (0,0,0) и точку \( B \) находится на оси \( z \) и имеет координаты (0,0,r), где \( r \) - радиус сферы.

Теперь давайте построим плоскость, которая проходит через конец диаметра \( B \) под углом 45° к нему. Первым шагом найдем вектор нормали к плоскости. Мы можем использовать вектор \( \overrightarrow{BC} \) для этого, где \( C \) - точка пересечения линии пересечения сферы и плоскости с плоскостью \( xOy \), если мы продолжим плоскость до пересечения с \( xOy \).

Поскольку векторы \( \overrightarrow{BA} \) и \( \overrightarrow{BC} \) лежат на сфере, их длины равны радиусу сферы \( r \). Таким образом, координаты точки \( C \) будут (r, 0, z), где \( z \) - неизвестная величина.

Теперь мы можем найти вектор \( \overrightarrow{BC} \) путем вычитания вектора \( \overrightarrow{BA} \) из вектора \( \overrightarrow{CA} \):

\[
\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA} - \overrightarrow{BA} = (r, 0, z) - (0, 0, r) = (r, 0, z - r)
\]

Длина вектора \( \overrightarrow{BC} \) равна:

\[
|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(r - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (z - r)^2} = \sqrt{r^2 + (z - r)^2}
\]

Таким образом, длина линии пересечения сферы с плоскостью будет равна \( |\overrightarrow{BC}| \). В нашем случае:

\[
|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{r^2 + (z - r)^2}
\]

Теперь давайте проанализируем это уравнение. Поскольку \( z \) - это пространственная координата, она может быть любым значением в диапазоне от 0 до \( 2r \) для нашей задачи, так как \( C \) находится на сфере. Следовательно, линия пересечения может быть любой длины в этом диапазоне.

Чтобы это визуализировать, я предоставлю вам 3D-диаграмму, которая покажет сферу, плоскость и линию пересечения. Диаграмма будет иметь вид:

---

\[Diagram visualization\]

---

Таким образом, длина линии пересечения сферы с плоскостью будет равняться \(\sqrt{r^2 + (z - r)^2}\), где \(z\) может быть любым значением в диапазоне от 0 до \(2r\).