Каков угол между диагональю куба и плоскостью его основания, если длина ребра куба составляет

Давайте решим эту задачу пошагово.

У нас есть куб, и нам нужно найти угол между его диагональю и плоскостью его основания. Пусть длина ребра куба составляет \(a\).

Шаг 1: Найдем длину диагонали куба.
Для этого воспользуемся теоремой Пифагора. В кубе диагональ является гипотенузой прямоугольного треугольника, а ребро - одной из его катетов. Таким образом, по теореме Пифагора можем найти длину диагонали \(d\):
\[d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}\]

Шаг 2: Найдем косинус угла между диагональю и плоскостью основания.
Пусть угол, который мы ищем, обозначается как \(\theta\). Воспользуемся определением косинуса:
\[\cos(\theta) = \frac{\text{проекция вектора диагонали на плоскость основания}}{\text{длина вектора диагонали}}\]

Вектор диагонали и вектор нормали к плоскости основания образуют прямой угол. Поэтому, если вектор диагонали имеет длину \(d\), то его проекция на плоскость основания будет равна \(\frac{d}{\sqrt{2}}\).

Подставим в формулу значение проекции и длину диагонали:
\[\cos(\theta) = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\]

Шаг 3: Найдем сам угол \(\theta\).
Чтобы найти сам угол, нам нужно взять обратный косинус от значения, полученного в предыдущем шаге:
\[\theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\]

Поэтому, угол между диагональю и плоскостью основания куба равен:
\[\theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \approx 45^\circ\]

Таким образом, угол между диагональю и плоскостью основания куба составляет около 45 градусов.