Какова длина катета, противолежащего углу, в прямоугольном треугольнике с площадью 648√3 и одним из острых углов равным

Для решения этой задачи мы можем использовать формулы для площади прямоугольного треугольника и связанные с ними соотношения.

Пусть длина катета, противолежащего углу в прямоугольном треугольнике, равна \(x\).

В прямоугольном треугольнике с углом 30° и катетом \(x\) существует соотношение между длинами катетов и гипотенузы треугольника. Это соотношение называется теоремой синусов:

\[\frac{x}{\sin(30°)} = \frac{h}{\sin(90°)}\]

Здесь \(h\) - гипотенуза треугольника.

Треугольник прямоугольный, поэтому угол противолежащий \(x\) - 90°.

Угол противолежащий \(h\) - 30°, поэтому мы можем записать соотношение следующим образом:

\[\frac{x}{\frac{1}{2}} = \frac{h}{1}\]

Упростив выражение, получаем:

\[2x = h\]

Теперь давайте воспользуемся формулой для площади прямоугольного треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\]

Здесь \(S\) - площадь треугольника, \(a\) и \(b\) - длины катетов.

Подставим известные значения в формулу:

\[648\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot h\]

Подставим \(h = 2x\) в уравнение:

\[648\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot 2x\]

Упростим выражение:

\[648\sqrt{3} = x^2\]

Чтобы найти длину катета \(x\), возведем обе части уравнения в квадрат:

\[(648\sqrt{3})^2 = x^2 \cdot x^2\]

Упростим выражение:

\[187,416 \cdot 3 = x^4\]

Теперь найдем квадратный корень из обеих частей уравнения:

\[x^2 = \sqrt{187,416 \cdot 3}\]

\[x \approx 18,9\]

Таким образом, длина катета, противолежащего углу в прямоугольном треугольнике, составляет примерно 18,9.