Чему равен угол между плоскостью треугольника и плоскостью его ортогональной проекции, если площадь треугольника равна

Для решения данной задачи нам понадобятся знания ортогональной проекции и векторного произведения. Давайте начнем с определения этих понятий.

Ортогональная проекция — это проекция вектора на плоскость, перпендикулярную этому вектору. В нашем случае, ортогональная проекция треугольника будет находиться в плоскости, перпендикулярной плоскости треугольника.

Теперь обратимся к векторному произведению. Пусть у нас есть два вектора $\overrightarrow{A}$ и $\overrightarrow{B}$. Тогда их векторное произведение определяется как $\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}=|\overrightarrow{A}|\cdot |\overrightarrow{B}|\cdot \sin \theta$, где $\theta$ — угол между векторами.

В нашей задаче требуется найти угол между плоскостью треугольника и плоскостью его ортогональной проекции. Для этого мы можем воспользоваться следующим методом:

1. Найдем нормальный вектор для плоскости треугольника, используя формулу площади треугольника: $S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|$, где $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ — вектора, задающие стороны треугольника. В нашем случае, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}$ и $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{A}$. Получим нормальный вектор $\overrightarrow{n}$.

2. Затем найдем нормальный вектор для плоскости ортогональной проекции. В данном случае, так как плоскость находится перпендикулярно плоскости треугольника, нормальный вектор будет совпадать с нормальным вектором плоскости треугольника.

3. Найдем угол между этими двумя векторами $\overrightarrow{n}$ и ${\overrightarrow{n}}_{\text{проекц}}$. Для этого воспользуемся формулой для векторного произведения: $\overrightarrow{n}\times {\overrightarrow{n}}_{\text{проекц}}=|\overrightarrow{n}|\cdot |{\overrightarrow{n}}_{\text{проекц}}|\cdot \sin {\theta }_{\text{угол}}$. Найдем значение угла ${\theta }_{\text{угол}}$.

4. Наконец, угол между плоскостью треугольника и плоскостью его ортогональной проекции будет равен ${\theta }_{\text{угол}}$.

Давайте теперь приступим к решению задачи.

Шаг 1: Найдем нормальный вектор для плоскости треугольника.
Для этого найдем векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$ по формуле:
$$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)$$
$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{A}=(x_C-x_A,y_C-y_A,z_C-z_A)$$

Подставим значения координат точек А, В и С:
$$\overrightarrow{AB}=(14-13,0-0,0-0)=(1,0,0)$$
$$\overrightarrow{AC}=(15-13,0-0,0-0)=(2,0,0)$$

Так как треугольник находится в плоскости XY, нормальный вектор будет иметь координаты (0, 0, 1).

Шаг 2: Найдем нормальный вектор для плоскости ортогональной проекции.
Как мы уже обсудили, нормальный вектор для плоскости ортогональной проекции совпадает с нормальным вектором плоскости треугольника. Так что нормальный вектор для плоскости ортогональной проекции также будет (0, 0, 1).

Шаг 3: Найдем угол между нормальными векторами.
Используем формулу векторного произведения:
$$\overrightarrow{n}\times {\overrightarrow{n}}_{\text{проекц}}=|\overrightarrow{n}|\cdot |{\overrightarrow{n}}_{\text{проекц}}|\cdot \sin {\theta }_{\text{угол}}$$
$$(0,0,1)\times (0,0,1)=|(0,0,1)|\cdot |(0,0,1)|\cdot \sin {\theta }_{\text{угол}}$$
$$(0,0,0)=1\cdot 1\cdot \sin {\theta }_{\text{угол}}$$

Так как векторное произведение нулевое, значит, угол между нормальными векторами будет равен 0 или 180 градусов.

Шаг 4: Найдем угол между плоскостью треугольника и плоскостью ортогональной проекции.
Угол между плоскостями будет равен углу ${\theta }_{\text{угол}}$, который мы получили на шаге 3. Так как угол ${\theta }_{\text{угол}}$ равен 0 или 180 градусов, значит, угол между плоскостью треугольника и плоскостью его ортогональной проекции будет равен 0 или 180 градусов.

Итак, ответ: угол между плоскостью треугольника и плоскостью его ортогональной проекции равен 0 или 180 градусов.