Чему равен угол между плоскостью треугольника и плоскостью его ортогональной проекции, если площадь треугольника равна

Для решения данной задачи нам понадобятся знания ортогональной проекции и векторного произведения. Давайте начнем с определения этих понятий.

Ортогональная проекция — это проекция вектора на плоскость, перпендикулярную этому вектору. В нашем случае, ортогональная проекция треугольника будет находиться в плоскости, перпендикулярной плоскости треугольника.

Теперь обратимся к векторному произведению. Пусть у нас есть два вектора \(\vec{A}\) и \(\vec{B}\). Тогда их векторное произведение определяется как \(\vec{A} \times \vec{B} = |\vec{A}| \cdot |\vec{B}| \cdot \sin \theta\), где \(\theta\) — угол между векторами.

В нашей задаче требуется найти угол между плоскостью треугольника и плоскостью его ортогональной проекции. Для этого мы можем воспользоваться следующим методом:

1. Найдем нормальный вектор для плоскости треугольника, используя формулу площади треугольника: \(S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|\), где \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) — вектора, задающие стороны треугольника. В нашем случае, \(\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}\) и \(\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A}\). Получим нормальный вектор \(\vec{n}\).

2. Затем найдем нормальный вектор для плоскости ортогональной проекции. В данном случае, так как плоскость находится перпендикулярно плоскости треугольника, нормальный вектор будет совпадать с нормальным вектором плоскости треугольника.

3. Найдем угол между этими двумя векторами \(\vec{n}\) и \(\vec{n}_{\text{проекц}}\). Для этого воспользуемся формулой для векторного произведения: \(\vec{n} \times \vec{n}_{\text{проекц}} = |\vec{n}| \cdot |\vec{n}_{\text{проекц}}| \cdot \sin \theta_{\text{угол}}\). Найдем значение угла \(\theta_{\text{угол}}\).

4. Наконец, угол между плоскостью треугольника и плоскостью его ортогональной проекции будет равен \(\theta_{\text{угол}}\).

Давайте теперь приступим к решению задачи.

Шаг 1: Найдем нормальный вектор для плоскости треугольника.
Для этого найдем векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\) по формуле:
\[\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)\]
\[\vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A)\]

Подставим значения координат точек А, В и С:
\[\vec{AB} = (14 - 13, 0 - 0, 0 - 0) = (1, 0, 0)\]
\[\vec{AC} = (15 - 13, 0 - 0, 0 - 0) = (2, 0, 0)\]

Так как треугольник находится в плоскости XY, нормальный вектор будет иметь координаты (0, 0, 1).

Шаг 2: Найдем нормальный вектор для плоскости ортогональной проекции.
Как мы уже обсудили, нормальный вектор для плоскости ортогональной проекции совпадает с нормальным вектором плоскости треугольника. Так что нормальный вектор для плоскости ортогональной проекции также будет (0, 0, 1).

Шаг 3: Найдем угол между нормальными векторами.
Используем формулу векторного произведения:
\[\vec{n} \times \vec{n}_{\text{проекц}} = |\vec{n}| \cdot |\vec{n}_{\text{проекц}}| \cdot \sin \theta_{\text{угол}}\]
\[(0, 0, 1) \times (0, 0, 1) = |(0, 0, 1)| \cdot |(0, 0, 1)| \cdot \sin \theta_{\text{угол}}\]
\[(0, 0, 0) = 1 \cdot 1 \cdot \sin \theta_{\text{угол}}\]

Так как векторное произведение нулевое, значит, угол между нормальными векторами будет равен 0 или 180 градусов.

Шаг 4: Найдем угол между плоскостью треугольника и плоскостью ортогональной проекции.
Угол между плоскостями будет равен углу \(\theta_{\text{угол}}\), который мы получили на шаге 3. Так как угол \(\theta_{\text{угол}}\) равен 0 или 180 градусов, значит, угол между плоскостью треугольника и плоскостью его ортогональной проекции будет равен 0 или 180 градусов.

Итак, ответ: угол между плоскостью треугольника и плоскостью его ортогональной проекции равен 0 или 180 градусов.