Какова длина гипотенузы в прямоугольном треугольнике, в котором площадь равна 2 квадратным сантиметрам и угол между

Для решения данной задачи, давайте начнем с известных данных. Нам дана площадь прямоугольного треугольника равная 2 квадратным сантиметрам, а также угол между медианой и высотой, который равен arcsin(15/17). Пусть гипотенуза треугольника равна \(c\), катеты равны \(a\) и \(b\).

Первым шагом, мы можем использовать формулу для площади треугольника:

\[S = \frac{1}{2} \cdot ab\]

Подставляя значение площади \(S = 2\), получаем:

\[2 = \frac{1}{2} \cdot ab\]

Выразим \(ab\):

\[ab = 4\]

Вторым шагом, мы можем использовать формулу для нахождения синуса угла:

\[\sin(\theta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}\]

В нашем случае, у нас задан угол, а не его синус. Чтобы найти соответствующий катет, к нему мы можем применить следующую формулу:

\[\text{Противолежащий катет} = \sin(\theta) \cdot \text{гипотенуза}\]

Подставляя значение угла \(\theta = \arcsin(\frac{15}{17})\) и гипотенузы \(c\), получаем:

\[\text{Противолежащий катет} = \frac{15}{17} \cdot c\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[ab = 4\]
\[\text{Противолежащий катет} = \frac{15}{17} \cdot c\]

Чтобы решить данную систему уравнений, давайте воспользуемся методом подстановки. Разрешим первое уравнение относительно \(a\):

\[a = \frac{4}{b}\]

Подставим это значение \(a\) во второе уравнение:

\[\frac{4}{b} \cdot b = \frac{15}{17} \cdot c\]

Сокращаем \(b\) на обеих сторонах:

\[4 = \frac{15}{17} \cdot c\]

Разрешим это уравнение относительно \(c\):

\[c = \frac{4 \cdot 17}{15} = \frac{68}{15} = \frac{4 \cdot 17 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{68}{15} = 4.533...\]

Таким образом, длина гипотенузы в данном прямоугольном треугольнике равна примерно 4.533 сантиметра (с округлением до трех знаков после запятой).