Какова длина диагоналей параллелограмма, если его стороны равны 2 см и 8 см, а угол между ними составляет 120 градусов?

Чтобы найти длину диагоналей параллелограмма, нам понадобится использовать теорему косинусов. Эта теорема позволяет связать длины сторон треугольника с косинусом одного из его углов.

Длины сторон параллелограмма равны 2 см и 8 см. Угол между этими сторонами составляет 120 градусов. Пусть \(a\) и \(b\) будут длинами сторон параллелограмма, а \(\theta\) - угол между ними.

Мы можем найти первую диагональ D1, используя теорему косинусов:
\[ D1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\theta) \]

Подставляя значения в формулу, получим:
\[ D1^2 = 2^2 + 8^2 - 2 \cdot 2 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ) \]

Вычислим косинус угла 120 градусов. Возьмем во внимание, что этот угол больше 90 градусов, поэтому его косинус будет отрицательным:
\[ \cos(120^\circ) = -0.5 \]

Подставляя это значение, продолжаем вычисления:
\[ D1^2 = 4 + 64 - 16 \cdot (-0.5) = 4 + 64 + 8 = 76 \]

Из выражения \(D1^2 = 76\) находим значение диагонали D1:
\[ D1 = \sqrt{76} \approx 8.72 \, \text{см} \]

Чтобы найти вторую диагональ D2, мы можем применить ту же формулу, но используем угол 60 градусов. Угол 120 градусов разбивает параллелограмм на два равных треугольника, поэтому угол между диагоналями составляет 60 градусов:
\[ D2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(60^\circ) \]

Вычислим косинус 60 градусов:
\[ \cos(60^\circ) = 0.5 \]

Подставляем значения и продолжаем вычисления:
\[ D2^2 = 2^2 + 8^2 - 2 \cdot 2 \cdot 8 \cdot 0.5 = 4 + 64 - 16 = 52 \]

Из выражения \(D2^2 = 52\) находим значение диагонали D2:
\[ D2 = \sqrt{52} \approx 7.21 \, \text{см} \]

Таким образом, длина первой диагонали (D1) равна примерно 8.72 см, а длина второй диагонали (D2) составляет около 7.21 см.