Какова будет длина пружины, если увеличить модуль каждой из приложенных сил в 5 раз, не меняя их направления

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать закон Гука, который описывает зависимость деформации пружины от приложенных сил. Закон Гука гласит, что напряжение \(F\), действующее на участок пружины, прямо пропорционально его удлинению \(x\) и обратно пропорционально его жесткости \(k\):

\[F = kx\]

где:
\(F\) - приложенная сила,
\(k\) - коэффициент жесткости пружины,
\(x\) - удлинение пружины.

В исходной задаче, для растяжения пружины на 2 см, приложены равные по модулю силы. Значит, каждая из этих сил равна половине общей силы, которая выражается через коэффициент жесткости и удлинение:

\[F_{исходная} = 2k\]

Согласно условию, если мы увеличим модуль приложенных сил в 5 раз, то новые силы станут равны:

\[F_{новая} = 5 \cdot F_{исходная} = 5 \cdot 2k = 10k\]

Теперь нам нужно выразить удлинение новой пружины \(x_{новое}\) через новую силу \(F_{новая}\) и коэффициент жесткости \(k_{новый}\). Для этого мы можем использовать исходные данные о длине пружины:

\[20 \, см = x_{старое} + x_{новое}\]

При этом, так как новые силы воздействуют на участок пружины, имеющий длину \(x_{новое}\), а исходные силы воздействуют на участок пружины с длиной \(x_{старое}\), то можно сделать вывод, что отношение длин пружины к удлинению должно быть неизменным:

\[\frac{{x_{старое}}}{{20}} = \frac{{x_{новое}}}{{x_{новое} + 2}}\]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений и найти значение нового удлинения \(x_{новое}\).

\[
\frac{{x_{старое}}}{{20}} = \frac{{x_{новое}}}{{x_{новое} + 2}} \rightarrow x_{новое} = \frac{{20x_{старое}}}{{20 - x_{старое}}}
\]

Подставим известные значения и рассчитаем новое удлинение:

\[
x_{новое} = \frac{{20 \cdot 2}}{{20 - 2}} = \frac{{40}}{{18}} \approx 2.22 \, см
\]

Таким образом, новая длина пружины будет равна сумме исходной длины и нового удлинения:

\[
L_{новая} = 20 + x_{новое} = 20 + 2.22 = 22.22 \, см
\]

Ответ: Новая длина пружины составит 22.22 см, если увеличить модуль каждой из приложенных сил в 5 раз.