Каков знаменатель геометрической прогрессии (bn), если b8 равно 172, а b11 равно 2 11/16? Каков восьмой член

Перед тем, как решить эту задачу, давайте вспомним определение геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего члена на постоянное число, называемое знаменателем. Обозначим знаменатель как q.

Итак, у нас есть два известных члена геометрической прогрессии: b8 = 172 и b11 = 2 11/16. Мы хотим найти знаменатель геометрической прогрессии и восьмой член последовательности.

Для того чтобы найти знаменатель q, мы можем использовать отношение двух последовательных членов геометрической прогрессии:

\[q = \sqrt[n-m]{\frac{b_n}{b_m}}\]

где n и m - номера соответствующих членов последовательности, а b_n и b_m - значения этих членов.

Запишем это уравнение для наших данных. При m = 8 и n = 11, мы получим:

\[q = \sqrt[11-8]{\frac{b_{11}}{b_8}}\]

\[q = \sqrt[3]{\frac{2\frac{11}{16}}{172}}\]

Теперь давайте решим это выражение для q. Вначале вычислим \(\frac{2\frac{11}{16}}{172}\):

\[\frac{2\frac{11}{16}}{172} = \frac{\frac{27}{16}}{172} = \frac{27}{16} \cdot \frac{1}{172} = \frac{27}{2752}\]

Теперь возьмем кубический корень из этого значения:

\[q = \sqrt[3]{\frac{27}{2752}}\]

\[q \approx 0.630\]

Итак, мы получили значение знаменателя геометрической прогрессии. Чтобы найти восьмой член геометрической прогрессии, нам понадобится использовать начальный член и знаменатель. Начальный член обозначается как b1, а восьмой член обозначается как b8.

Мы знаем, что b8 = 172. Теперь можно воспользоваться формулой геометрической прогрессии, чтобы найти b1:

\[b8 = b1 \cdot q^{(8-1)}\]

\[172 = b1 \cdot q^7\]

Теперь, используя найденное значение q ≈ 0.630, можем найти b1:

\[b1 \approx \frac{172}{(0.630)^7}\]

\[b1 \approx 7.335\]

Таким образом, восьмой член геометрической прогрессии составляет примерно 7.335.