Каков закон распределения случайной величины Y, представляющей число годных деталей из пяти случайно выбранных, если

Чтобы решить данную задачу, мы должны использовать биномиальное распределение, так как у нас есть последовательность испытаний (выборка) с фиксированным количеством бракованных деталей и вероятностью успеха (т.е. вероятностью выбрать годную деталь).

Биномиальное распределение описывает количество успехов в серии независимых испытаний, каждое из которых имеет только два возможных исхода: успех или неудача.

В данной задаче мы имеем 5 случайно выбранных деталей из партии, где 10% деталей бракованные. Таким образом, вероятность выбрать годную деталь равна 1 - 10% = 0.9, а вероятность выбрать бракованную деталь равна 0.1.

Пусть случайная величина Y будет представлять количество годных деталей из пяти случайно выбранных. Нам нужно найти закон распределения этой случайной величины.

Для этого мы должны найти вероятность для каждого возможного значения Y: 0, 1, 2, 3, 4 и 5.

Формула для вычисления вероятности биномиального распределения выглядит следующим образом:

$$P(Y=k)=C_n^k\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$$

Где:
- $P(Y=k)$ - вероятность того, что случайная величина Y примет значение k.
- $C_n^k$ - количество комбинаций из n элементов, выбранных k раз.
- $p$ - вероятность успеха в одном испытании (выбор годной детали)
в нашем случае $p=0.9$
- $n$ - количество испытаний (выбранных деталей в нашем случае)
в нашем случае $n=5$
- $k$ - количество успехов (годных деталей в нашем случае)

Теперь найдем вероятности для каждого значения Y:

Для Y = 0:
$$P(Y=0)=C_5^0\cdot {0.9}^0\cdot (1-0.9{)}^{5-0}=1\cdot 1\cdot (0.1{)}^5=0.00001$$

Для Y = 1:
$$P(Y=1)=C_5^1\cdot {0.9}^1\cdot (1-0.9{)}^{5-1}=5\cdot 0.9\cdot (0.1{)}^4=0.00045$$

Для Y = 2:
$$P(Y=2)=C_5^2\cdot {0.9}^2\cdot (1-0.9{)}^{5-2}=10\cdot (0.9{)}^2\cdot (0.1{)}^3=0.0081$$

Для Y = 3:
$$P(Y=3)=C_5^3\cdot {0.9}^3\cdot (1-0.9{)}^{5-3}=10\cdot (0.9{)}^3\cdot (0.1{)}^2=0.0729$$

Для Y = 4:
$$P(Y=4)=C_5^4\cdot {0.9}^4\cdot (1-0.9{)}^{5-4}=5\cdot (0.9{)}^4\cdot (0.1{)}^1=0.32805$$

Для Y = 5:
$$P(Y=5)=C_5^5\cdot {0.9}^5\cdot (1-0.9{)}^{5-5}=1\cdot (0.9{)}^5\cdot (0.1{)}^0=0.59049$$

Числовые характеристики закона распределения случайной величины Y (число годных деталей из 5 случайно выбранных) включают ожидаемое значение (математическое ожидание) и дисперсию.

Ожидаемое значение (математическое ожидание) можно вычислить по формуле:

$$E(Y)=n\cdot p$$

где:
- $E(Y)$ - ожидаемое значение случайной величины Y.
- $n$ - количество испытаний (выбранных деталей в данном случае) (5 в данной задаче).
- $p$ - вероятность успеха в одном испытании (выбор годной детали) (0.9 в данной задаче).

$$E(Y)=5\cdot 0.9=4.5$$

Дисперсию можно вычислить по формуле:

$$Var(Y)=n\cdot p\cdot (1-p)$$

где:
- $Var(Y)$ - дисперсия случайной величины Y.
- $n$ - количество испытаний (выбранных деталей в данном случае) (5 в данной задаче).
- $p$ - вероятность успеха в одном испытании (выбор годной детали) (0.9 в данной задаче).

$$Var(Y)=5\cdot 0.9\cdot (1-0.9)=0.45$$

Таким образом, закон распределения случайной величины Y, представляющей число годных деталей из пяти случайно выбранных, будет следующим:

Y | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5
---|-----|-----|-----|-----|-----|-----
P(Y) | 0.00001 | 0.00045 | 0.0081 | 0.0729 | 0.32805 | 0.59049

Ожидаемое значение (математическое ожидание) равно 4.5, а дисперсия равна 0.45.