Каков закон распределения случайной величины Y, представляющей число годных деталей из пяти случайно выбранных, если

Чтобы решить данную задачу, мы должны использовать биномиальное распределение, так как у нас есть последовательность испытаний (выборка) с фиксированным количеством бракованных деталей и вероятностью успеха (т.е. вероятностью выбрать годную деталь).

Биномиальное распределение описывает количество успехов в серии независимых испытаний, каждое из которых имеет только два возможных исхода: успех или неудача.

В данной задаче мы имеем 5 случайно выбранных деталей из партии, где 10% деталей бракованные. Таким образом, вероятность выбрать годную деталь равна 1 - 10% = 0.9, а вероятность выбрать бракованную деталь равна 0.1.

Пусть случайная величина Y будет представлять количество годных деталей из пяти случайно выбранных. Нам нужно найти закон распределения этой случайной величины.

Для этого мы должны найти вероятность для каждого возможного значения Y: 0, 1, 2, 3, 4 и 5.

Формула для вычисления вероятности биномиального распределения выглядит следующим образом:

\[ P(Y=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

Где:
- \( P(Y=k) \) - вероятность того, что случайная величина Y примет значение k.
- \( C_n^k \) - количество комбинаций из n элементов, выбранных k раз.
- \( p \) - вероятность успеха в одном испытании (выбор годной детали)
в нашем случае \( p = 0.9 \)
- \( n \) - количество испытаний (выбранных деталей в нашем случае)
в нашем случае \( n = 5 \)
- \( k \) - количество успехов (годных деталей в нашем случае)

Теперь найдем вероятности для каждого значения Y:

Для Y = 0:
\[ P(Y=0) = C_5^0 \cdot 0.9^0 \cdot (1-0.9)^{5-0} = 1 \cdot 1 \cdot (0.1)^5 = 0.00001 \]

Для Y = 1:
\[ P(Y=1) = C_5^1 \cdot 0.9^1 \cdot (1-0.9)^{5-1} = 5 \cdot 0.9 \cdot (0.1)^4 = 0.00045 \]

Для Y = 2:
\[ P(Y=2) = C_5^2 \cdot 0.9^2 \cdot (1-0.9)^{5-2} = 10 \cdot (0.9)^2 \cdot (0.1)^3 = 0.0081 \]

Для Y = 3:
\[ P(Y=3) = C_5^3 \cdot 0.9^3 \cdot (1-0.9)^{5-3} = 10 \cdot (0.9)^3 \cdot (0.1)^2 = 0.0729 \]

Для Y = 4:
\[ P(Y=4) = C_5^4 \cdot 0.9^4 \cdot (1-0.9)^{5-4} = 5 \cdot (0.9)^4 \cdot (0.1)^1 = 0.32805 \]

Для Y = 5:
\[ P(Y=5) = C_5^5 \cdot 0.9^5 \cdot (1-0.9)^{5-5} = 1 \cdot (0.9)^5 \cdot (0.1)^0 = 0.59049 \]

Числовые характеристики закона распределения случайной величины Y (число годных деталей из 5 случайно выбранных) включают ожидаемое значение (математическое ожидание) и дисперсию.

Ожидаемое значение (математическое ожидание) можно вычислить по формуле:

\[ E(Y) = n \cdot p \]

где:
- \( E(Y) \) - ожидаемое значение случайной величины Y.
- \( n \) - количество испытаний (выбранных деталей в данном случае) (5 в данной задаче).
- \( p \) - вероятность успеха в одном испытании (выбор годной детали) (0.9 в данной задаче).

\[ E(Y) = 5 \cdot 0.9 = 4.5 \]

Дисперсию можно вычислить по формуле:

\[ Var(Y) = n \cdot p \cdot (1-p) \]

где:
- \( Var(Y) \) - дисперсия случайной величины Y.
- \( n \) - количество испытаний (выбранных деталей в данном случае) (5 в данной задаче).
- \( p \) - вероятность успеха в одном испытании (выбор годной детали) (0.9 в данной задаче).

\[ Var(Y) = 5 \cdot 0.9 \cdot (1-0.9) = 0.45 \]

Таким образом, закон распределения случайной величины Y, представляющей число годных деталей из пяти случайно выбранных, будет следующим:

Y | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5
---|-----|-----|-----|-----|-----|-----
P(Y) | 0.00001 | 0.00045 | 0.0081 | 0.0729 | 0.32805 | 0.59049

Ожидаемое значение (математическое ожидание) равно 4.5, а дисперсия равна 0.45.