Каков вид многочлена, полученного при умножении (3z² - 5)(5 + 3z²)?

Для решения данной задачи, мы должны умножить два многочлена: \((3z^2 - 5)\) и \((5 + 3z^2)\). Перед тем, как начать умножение, давайте распишем оба многочлена:

\(3z^2 - 5\) - это многочлен вида \(ax^2 + bx + c\), где \(a = 3\), \(b = 0\) и \(c = -5\). Обратите внимание, что второе слагаемое \(3z^2\) не имеет числового коэффициента, поэтому мы можем заполнить пропущенное значение 0. Точно так же, первый многочлен может быть записан как \(0z^3 + 3z^2 + 0z - 5\).

Аналогично, многочлен \(5 + 3z^2\) может быть записан как \(0z^3 + 3z^2 + 0z + 5\), где \(a = 0\), \(b = 3\) и \(c = 5\).

Теперь, чтобы умножить два многочлена, мы должны умножить каждый элемент первого многочлена на каждый элемент второго многочлена. Запишем это пошагово:

\[
\begin{align*}
&(0z^3 + 3z^2 + 0z - 5) \times (0z^3 + 3z^2 + 0z + 5)\\
&= 0z^3 \times (0z^3 + 3z^2 + 0z + 5)\\
&+ 3z^2 \times (0z^3 + 3z^2 + 0z + 5)\\
&+ 0z \times (0z^3 + 3z^2 + 0z + 5)\\
&- 5 \times (0z^3 + 3z^2 + 0z + 5)
\end{align*}
\]

Теперь, давайте умножим каждое слагаемое:

\begin{align*}
&0z^3 \times (0z^3 + 3z^2 + 0z + 5) = 0\\
&3z^2 \times (0z^3 + 3z^2 + 0z + 5) = 9z^4 + 0z^3 + 0z^2 + 15z^2\\
&0z \times (0z^3 + 3z^2 + 0z + 5) = 0\\
&- 5 \times (0z^3 + 3z^2 + 0z + 5) = -15z^2 - 25
\end{align*}

Теперь, соберем все слагаемые в одном многочлене и объединим их:

\[
0 + 9z^4 + 0z^3 + 0z^2 + 15z^2 + 0 - 15z^2 - 25
\]

Упростим этот многочлен, сложив и вычитая подобные слагаемые:

\[
9z^4 + 0z^3 + (15z^2 - 15z^2) + 0 - 25 = 9z^4 - 25
\]

Таким образом, многочлен, полученный при умножении \((3z^2 - 5)(5 + 3z^2)\), равен \(9z^4 - 25\).

Переведем сформулированное решение кратким описанием:

Для решения задачи мы умножили два многочлена \((3z^2 - 5)\) и \((5 + 3z^2)\). Расписали оба многочлена по степеням \(z\) и заменили пропущенные коэффициенты нулями. Затем мы пошагово умножили каждый элемент первого многочлена на каждый элемент второго многочлена и сложили полученные слагаемые. В результате мы получили многочлен \(9z^4 - 25\).