Какое минимальное значение может принимать выражение А = х + 9/х + 5 (для х

Для решения данной задачи, нам необходимо найти минимальное значение выражения \(A = x + \frac{9}{x} + 5\).

Для начала заметим, что данное выражение является функцией одной переменной \(x\), и наша задача состоит в том, чтобы найти минимальное значение этой функции. Для этого воспользуемся необходимым условием экстремума функции - производной.

1. Найдем производную функции \(A\) по переменной \(x\). Для этого применим правила дифференцирования:

\[A" = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(\frac{9}{x}) + \frac{d}{dx}(5)\]

Правило дифференцирования для константы \(k\) гласит, что \(\frac{d}{dx}(k) = 0\), поэтому последнее слагаемое равно нулю:

\[A" = 1 - \frac{9}{x^2}\]

2. Найдем точки, в которых производная равна нулю. Для этого приравняем \(A"\) к нулю и решим полученное уравнение:

\[1 - \frac{9}{x^2} = 0\]

Перенесем все слагаемые влево и приведем к общему знаменателю:

\[1x^2 - 9 = 0\]

Уравнение является квадратным, поэтому решим его с помощью квадратного корня:

\[x^2 = 9\]
\[x = \pm 3\]

Таким образом, получаем две точки, в которых производная равна нулю: \(x = 3\) и \(x = -3\).

3. Определим, являются ли эти точки точками минимума или максимума, либо ни тем, ни другим. Для этого воспользуемся второй производной, которая позволяет определить характер точек экстремума.

Найдем вторую производную функции \(A\):

\[A"" = \frac{d}{dx}(1 - \frac{9}{x^2})\]
\[A"" = \frac{d}{dx}(1) - \frac{d}{dx}(\frac{9}{x^2})\]
\[A"" = 0 + \frac{18}{x^3}\]

Подставим найденные точки второй производной:

\[A""(3) = \frac{18}{3^3} = 2\]
\[A""(-3) = \frac{18}{(-3)^3} = -2\]

4. Итак, при \(x = 3\) вторая производная равна 2, а при \(x = -3\) равна -2. Исходя из определения, мы можем сделать вывод, что у нас есть точка минимума при \(x = 3\) и точка максимума при \(x = -3\).

5. Для определения минимального значения выражения \(A\) найдем значение самого выражения при \(x = 3\):

\[A(3) = 3 + \frac{9}{3} + 5 = 3 + 3 + 5 = 11\]

Таким образом, минимальное значение выражения \(A\) равно 11, и достигается оно при \(x = 3\).

Надеюсь, я смог дать вам подробное объяснение этой задачи. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать!