Каков вид графика функции f(x)=x²-6x+5? Используя график, определите: 1) интервалы, на которых функция возрастает

Итак, чтобы определить вид графика функции \( f(x) = x^2 - 6x + 5 \) и решить задачу, нам сначала необходимо построить этот график.

Давайте начнем с поиска вершины параболы, представленной функцией \( f(x) \). Вершина параболы может быть найдена по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \), где \( a \) и \( b \) - коэффициенты параболы. В нашем случае, \( a = 1 \) и \( b = -6 \), поэтому

\[ x = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3. \]

Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (3, f(3)) \). Чтобы найти значение функции в этой точке, мы подставляем \( x = 3 \) в исходное уравнение:

\[ f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4. \]

Теперь, когда у нас есть значения \( x \) и \( y \) вершины параболы, мы можем построить график.

Так как коэффициент при \( x^2 \) положительный (\( a = 1 \)), парабола будет направлена вверх. Также, учитывая, что вершина параболы находится в точке (3, -4), мы рисуем параболу, пересекающую ось \( x \) в этой точке.

Чтобы определить интервалы, на которых функция возрастает, мы обращаем внимание на знаки коэффициента при \( x \): если он положителен, функция возрастает; если отрицателен, функция убывает.

В данном случае коэффициент при \( x \) равен -6, что отрицательно. Это означает, что функция убывает на всей числовой прямой.

Теперь перейдем ко второй части задачи: определению множества значений \( x \), удовлетворяющих неравенству \( x^2 - 6x + 5 \geq 0 \).

Чтобы решить это неравенство, мы анализируем знаки функции на интервалах между корнями параболы. Для этого нас интересуют точки расположения параболы относительно оси \( x \).

Прежде всего, мы должны найти корни уравнения \( x^2 - 6x + 5 = 0 \). Для этого мы можем использовать формулу дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \). В нашем случае, \( a = 1 \), \( b = -6 \), и \( c = 5 \). Подставив эти значения в формулу, получим:

\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16. \]

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня. Решим уравнение, используя формулу \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \):

\[ x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = 5, \]

\[ x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = 1. \]

Таким образом, у нас есть два корня \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = 1 \).

Теперь мы анализируем знаки функции между корнями и за пределами корней, чтобы определить множество значений \( x \), удовлетворяющих неравенству \( x^2 - 6x + 5 \geq 0 \).

Прежде всего, рассмотрим интервал \((-\infty, x_2)\). На этом интервале функция \( f(x) \) положительна, поскольку парабола расположена выше оси \( x \). Затем рассмотрим интервал \((x_2, x_1)\). На этом интервале функция \( f(x) \) отрицательна, так как парабола находится ниже оси \( x \). Наконец, рассмотрим интервал \((x_1, +\infty)\). На этом интервале функция \( f(x) \) снова положительна.

Таким образом, множество значений \( x \), удовлетворяющих неравенству \( x^2 - 6x + 5 \geq 0 \), является интервалом \((-\infty, 1] \cup [5, +\infty)\).

Итак, мы построили график функции \( f(x) = x^2 - 6x + 5 \), определили интервалы, на которых функция возрастает (отсутствуют), и множество значений \( x \), удовлетворяющих неравенству \( x^2 - 6x + 5 \geq 0 \) (\((-\infty, 1] \cup [5, +\infty)\)).