Каков угол, образуемый меньшей диагональю параллелепипеда с основанием, если его длина составляет 4√2 см, а стороны

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать геометрические свойства параллелепипеда и тригонометрию.

Для начала, давайте взглянем на основание параллелепипеда. У нас есть две стороны основания, которые равны 2 см и 4 см. Давайте назовем их \(a = 2 \, \text{см}\) и \(b = 4 \, \text{см}\).

Мы также знаем, что синус угла между этими сторонами, обозначенными как \(\sin(\theta)\), равен \(\frac{\sqrt{7}}{4}\). Теперь мы можем использовать формулу синуса, чтобы найти значение угла \(\theta\).

Формула синуса гласит: \(\sin(\theta) = \frac{a}{c}\), где \(c\) - гипотенуза, то есть диагональ параллелепипеда.

Подставляя значения, у нас получается: \(\frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{2}{c}\).

Давайте найдем значение \(c\) (длину диагонали параллелепипеда), из этого уравнения.

Умножая обе части на \(c\), получим:

\(\sqrt{7} \cdot c = 2 \cdot 4 = 8\).

Чтобы избавиться от корня, возводим обе части в квадрат:

\((\sqrt{7} \cdot c)^2 = (8)^2\).

После упрощения, получаем уравнение:

\(7 \cdot c^2 = 64\).

Делим обе части на 7:

\(c^2 = \frac{64}{7}\).

Для нахождения длины \(c\), извлекаем квадратный корень:

\(c = \sqrt{\frac{64}{7}}\).

Теперь мы можем рассчитать значение длины диагонали:

\(c \approx 4.897 \, \text{см}\).

Теперь у нас есть значения всех сторон параллелепипеда. Давайте найдем угол, образуемый меньшей диагональю с одной из сторон основания.

Используя теорему косинусов, мы можем найти угол \(\theta\):

\(\cos(\theta) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\).

Подставляя значения, имеем:

\(\cos(\theta) = \frac{2^2 + 4^2 - (4.897)^2}{2 \cdot 2 \cdot 4}\).

Вычисляя это, получаем:

\(\cos(\theta) \approx 0.817\).

Теперь мы можем найти угол \(\theta\) с использованием обратной функции косинуса:

\(\theta = \cos^{-1}(0.817)\).

Вычисляя это, получаем:

\(\theta \approx 35.96^\circ\).

Таким образом, угол, образуемый меньшей диагональю параллелепипеда с основанием, примерно равен \(35.96^\circ\).