Каков угол между прямыми A1B и AB в прямой призме ABCA1B1C1, где основанием является треугольник ABC с длиной сторон

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание теоремы о косинусах и определения скалярного произведения векторов.

Первым шагом давайте найдем векторы \(\overrightarrow{A1B}\) и \(\overrightarrow{AB}\).

Пусть точки A, B и C имеют координаты A(0, 0, 0), B(5, 0, 0) и C(2.5, 4.33013, 0), соответственно. Также вектор \(\overrightarrow{A1B}\) можно представить как разность векторов \(\overrightarrow{A1B} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A1}\).

Теперь найдем координаты вектора \(\overrightarrow{A1B}\):

\(\overrightarrow{B} = (5, 0, 0)\)

\(\overrightarrow{A1} = (\frac{5}{2}, 0, \sqrt{11})\)

\(\overrightarrow{A1B} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A1} = (5, 0, 0) - (\frac{5}{2}, 0, \sqrt{11}) = (\frac{5}{2}, 0, -\sqrt{11})\)

Теперь найдем координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\):

\(\overrightarrow{A} = (0, 0, 0)\)

\(\overrightarrow{B} = (5, 0, 0)\)

\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = (5, 0, 0) - (0, 0, 0) = (5, 0, 0)\)

Следующим шагом найдем длины этих векторов:

\(|\overrightarrow{A1B}| = \sqrt{(\frac{5}{2})^2 + 0^2 + (-\sqrt{11})^2} = \frac{\sqrt{65}}{2}\)

\(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{5^2 + 0^2 + 0^2} = 5\)

Теперь мы готовы применить теорему о косинусах, которая гласит:

\(\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{A1B} \cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{A1B}| \cdot |\overrightarrow{AB}|}\), где \(\theta\) - это угол между векторами \(\overrightarrow{A1B}\) и \(\overrightarrow{AB}\), а \(\cdot\) обозначает скалярное произведение векторов.

Теперь вычислим значение скалярного произведения \(\overrightarrow{A1B} \cdot \overrightarrow{AB}\):

\(\overrightarrow{A1B} \cdot \overrightarrow{AB} = (\frac{5}{2}) \cdot 5 + 0 \cdot 0 + (-\sqrt{11}) \cdot 0 = \frac{25}{2}\)

Теперь вычислим значение угла \(\theta\):

\(\cos(\theta) = \frac{\frac{25}{2}}{\frac{\sqrt{65}}{2} \cdot 5} = \frac{5}{\sqrt{65}}\)

Теперь найдем значение угла \(\theta\):

\(\theta = \arccos\left(\frac{5}{\sqrt{65}}\right)\)

Последним шагом остается вычислить значение угла \(\theta\) с помощью калькулятора.