Каков радиус окружности, описанной вокруг треугольника AMK, если длина стороны MK равна 12 см и мера противолежащего

Дано: сторона MK длиной 12 см и угол AMK с мерой 150 градусов.

Для решения этой задачи, мы можем использовать знание о свойствах окружностей, в которых радиус является расстоянием от центра окружности до любой точки на окружности.

Для начала, построим треугольник AMK, где сторона MK равна 12 см и угол AMK равен 150 градусов. Теперь нам нужно найти радиус окружности, описанной вокруг этого треугольника.

Заметим, что в треугольнике AMK радиус окружности является линией, соединяющей центр окружности с вершиной. По свойству окружностей, радиус окружности перпендикулярен к основанию треугольника, проходит через его середину и делит его на две равные части.

Из угла AMK, который равен 150 градусов, делаем вывод, что угол AKM равен половине этого угла, то есть 75 градусов. Также, тригонометрическими соотношениями, мы знаем, что медиана треугольника делит его на две равные части и делит угол на две равные части.

Теперь мы можем использовать теорему синусов для нахождения значения радиуса окружности. Вспомним, что для треугольника ABC с сторонами a, b и c, и противолежащими им углами A, B и C, теорема синусов утверждает, что \[\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\]

В нашем случае, угол AKM равен 75 градусам, сторона MK равна 12 см, и мы ищем сторону AK - радиус окружности. Пусть данная сторона будет обозначена как r. Тогда у нас есть:

\[\frac{12}{\sin 75^{\circ}}=\frac{r}{\sin(180-75-75)^{\circ}}\]

Вычисляем синусы углов:

\[\frac{12}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{r}{\sqrt{2}}\]

Теперь мы можем перейти к поиску значения для радиуса окружности:

\[r=\frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\]

\[r=\frac{12\sqrt{2}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+\sqrt{2})(\sqrt{6}-\sqrt{2})}\]

\[r=\frac{12\sqrt{12}-12\sqrt{2}}{6-2}\]

\[r=\frac{12\sqrt{12}-12\sqrt{2}}{4}\]

\[r=3\sqrt{12}-3\sqrt{2}\]

\[r=6\sqrt{3}-3\sqrt{2} \approx 5,19\,см\]

Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг треугольника AMK, составляет примерно 5,19 см.