Каков угол между прямой ab1 и плоскостью c1cb, если ab = 3 см, bb1 = 4 см, грань aa1b1b призмы abca1b1c1 является

Чтобы найти угол между прямой $a{b}_1$ и плоскостью $c_{1}cb$, нам нужно разобраться в геометрической конструкции и использовать соответствующие свойства.

По описанию задачи, мы знаем, что грань $a{a}_1{b}_{1}b$ призмы $abc{a}_1{b}_1{c}_1$ является прямоугольником, а угол между плоскостями $c_{1}cb$ и $a{a}_1{b}_1$ равен заданному углу.

Давайте проанализируем геометрию задачи. По построению, прямая $a{b}_1$ и плоскость $c_{1}cb$ пересекаются в отдельной точке, обозначим ее $P$. Также, обозначим точку пересечения прямых $ab$ и $b_{1}b$ как точку $Q$.

У нас есть следующие данные:
- $ab=3$ см
- $b{b}_1=4$ см

Для того чтобы решить эту задачу, мы должны определить третью точку в пространстве. Давайте выберем точку $S$ на прямой $ab$ так, чтобы отрезок $QS$ был равен $3$ см. Тогда мы получим треугольник $QSP$.

Поскольку $a{a}_1{b}_{1}b$ является прямоугольником, $\mathrm{\angle }a{b}_{1}b=\mathrm{\angle }a{a}_1{b}_1={90}^{\circ }$.

Теперь мы можем найти угол $\mathrm{\angle }a{b}_{1}P$, применив свойства прямоугольного треугольника $QSP$. Для этого, мы можем использовать теорему косинусов для треугольника $QSP$.

Теорема косинусов гласит:
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos (C)$$
где
- $c$ - длина стороны, напротив угла, который мы ищем $(\mathrm{\angle }a{b}_{1}P)$
- $a$ и $b$ - длины других двух сторон треугольника $(QS$ и $SP)$
- $C$ - угол, для которого мы ищем значение

В нашем случае:
- $a=3$ см (длина $QS$)
- $b=4$ см (длина $SP$)
- $c$ - неизвестное значение, наше искомое
- $C={90}^{\circ }$ (из свойств прямоугольного треугольника)

Подставляя эти значения в теорему косинусов, мы можем выразить $c^2$ и решить уравнение, чтобы найти значение $c$.

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot \cos (C)$$
$$c^2=3^2+4^2-2\cdot 3\cdot 4\cdot \cos ({90}^{\circ })$$

Так как $\cos ({90}^{\circ })=0$, уравнение упрощается до:
$$c^2=3^2+4^2-0$$
$$c^2=9+16$$
$$c^2=25$$
$$c=\sqrt{25}$$
$$c=5$$

Таким образом, длина стороны $c$ равна $5$ см. Мы нашли третью сторону треугольника $QSP$.

В итоге, у нас есть прямоугольный треугольник $QSP$ с известными сторонами $a=3$ см, $b=4$ см и $c=5$ см. Нам нужно найти угол $\mathrm{\angle }a{b}_{1}P$.

Мы можем использовать теорему синусов для нахождения угла:
$$\frac{b}{\sin (B)}=\frac{c}{\sin (C)}$$

Опять же, поскольку $C={90}^{\circ }$, у нас получится:
$$\frac{b}{\sin (B)}=\frac{c}{\sin ({90}^{\circ })}$$
$$\frac{b}{\sin (B)}=\frac{c}{1}$$
$$\sin (B)=\frac{b}{c}$$
$$\sin (B)=\frac{4}{5}$$
$$B=\arcsin \left(\frac{4}{5}\right)$$

Выражение $\arcsin$ представляет обратную функцию синуса. В данном случае, выразив значение в радианах и упростив выражение, получим:
$$B\approx 0.927$$

Таким образом, угол между прямой $a{b}_1$ и плоскостью $c_{1}cb$ примерно равен $0.927$ радианов или примерно ${53.13}^{\circ }$.

Мы получили подробное объяснение с пошаговым решением задачи. Если у вас возникнут какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.